第09讲 平面解析几何 解析版【十六大题型】-2025届高考数学考前核心考点题型三轮冲刺精讲精练（新高考地区）.docx

第09讲平面解析几何

【题型归纳】

题型1：直线与方程

题型2：圆的方程求法

题型3：几何法求圆长

题型4：直线与圆的位置关系

题型5：圆与圆的位置关系

题型6：直线与圆的综合问题

题型7：椭圆的定义应用

题型8：直接法求离心率问题

题型9：构造齐次方程求离心率问题

题型10：离心率的范围问题

题型11：抛物线综合问题

题型12：圆锥曲线弦长问题

题型13：圆锥曲线面积问题

题型13：圆锥曲线中点弦问题

题型14：圆锥曲线范围问题

题型15：圆锥曲线的定点、定值问题

题型16：圆锥曲线与向量交汇问题

【题型探究】

题型1：直线与方程

1．（2025高三·全国）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.

【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为，

则，，解得，，

代入，得，

即所求直线的方程为．

故选：D．

2．（2025·河南周口·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（???）

A． B． C． D．0

【答案】B

【分析】求出过定点，当⊥时，取最小值，根据斜率垂直得到方程，求出.

【详解】，故过定点，

又，故在圆内，

??

所以当⊥时，取最小值，此时，

又，所以.

故选：B

3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为．

【答案】

【分析】解法一：在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上，则在直线l上，且直线与直线l斜率的乘积等于，建立方程组解出，再由经过与的交点，由两点式可得直线的方程，即可得解；

解法二：利用二级结论，直线关于直线对称的直线方程，由式子决定，即可得到直线的方程.

【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上．

设，则，解得即．

设与的交点为，则由，得，即．

又经过点，所以由两点式得直线的方程为，

即．

故答案为：．

解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为

，

即，所以直线的方程为．

故答案为：．

题型2：圆的方程求法

4．（24-25高三下·陕西咸阳）圆关于直线对称的圆的方程为（???）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求得圆的圆心与半径，利用对称求得圆心关于直线的对称点，可求对称圆的方程.

【详解】方程，可化为，

则圆心的坐标为，半径，

设圆关于直线对称的圆的圆心为，则半径仍为，

则，解得．

所以圆的方程为.

故选：C．

5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据中点坐标公式求出、、三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可.

【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为，

设的九点圆方程为，

代入、、三点坐标，可得，

解得，，，即，

化简可得圆的标准方程为．

故选：C.

6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知拋物线，其焦点到准线的距离为2，过焦点且斜率大于0的直线交拋物线于两点，以为直径的圆与准线相切于点，则圆的标准方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由焦点F到准线的距离为2，求出，即得焦点坐标，准线方程，抛物线方程，直线斜率为正，得点纵坐标，用点差法可求得直线斜率，再得点横坐标，同时得出圆半径，得圆方程．

【详解】抛物线的焦点到准线距离为2，则（因为），

焦点为，准线方程是，抛物线方程是，

又轴，，所以的纵坐标为2，

设，，

，两式相减得，

所以，又，，

即，所以圆半径为，

圆方程为．

故选：A．

题型3：几何法求圆长

7．（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为.

【答案】

【分析】利用垂径定理来求弦长，得用勾股定理来求切线长，即可解决问题.

【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得，

结合已知点，可得：

所以，

故答案为：.

8．（2025·云南昆明·一模）已知点，，若直线过且平分的面积，则被外接圆截得的弦长为.

【答案】/

【分析】先求出的外接圆方程，再确定直线的方程，最后根据圆的弦长公式求出弦长.

【详解】设外接圆的方程为，

把，，三点分别代入方程可得：

把代入得：，即.

把代入得：，即，解得.

把代入得：，将代入，

可得，解得.

所以外接圆的方程为，配方可得，

其圆心坐标为，半径.

因为直线过且平分的面积，所以直线必过线段的中点.

，，则中点坐标为.

已知直线过和，

可得直线的方程为，即.

圆心到直线：的距离