03 突破解答题（新定义题）（解析版）（精选必威体育精装版模拟共15题）-冲刺2025年高考数学提分宝典（新高考专用）.docx

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冲刺2025年高考数学分题型专项突破

突破解答题03（新定义题）

1．（2025·江西景德镇·二模）对于函数与直线，定义：当时，为函数与直线在区间上的偏差，取最小值时，称为函数在区间上的最佳逼近直线．已知函数，，其中，．

(1)当时，函数的两个零点分别为，直线，求在区间上的的值；

(2)求证：对于任意给定的一个的值，在上总存在三个不同的零点，且；

(3)函数在区间与的最佳逼近直线分别为与，它们在轴截距分别为与，求的值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用导数求得在递减，递增，求出最小值，再根据即可求得结果.

（2）构造函数，通过求导知道此函数有两根，∵，通过求导得到故在上存在零点，再利用不等式即可求得结果.

（3）先证明在区间的最佳逼近直线为，此时．再求出函数在区间的最佳逼近直线的方程为和的方程为，即可求得结果.

【详解】（1），，令解得，解

得，∴在递减，递增，

∴在时取最小值（如图1），

当处时，均有，故此时的值为．

（2）令，即，两边同时取对数并化简整理得：，

记，构造函数，发现，，令，即，∵，

∴此方程存在两不等根，由韦达定理可知，

∴，不难得出函数在上递减，上递增，上递减（如图2），

且，∴．

∵，

令，则，

∴关于单调递增，∴，

故在上存在零点．

又，于是，．

令，

由对勾函数可知时单调递增，且，

故，即．

而，

∴．

（3）先证明在区间的最佳逼近直线为，此时．

如图3，显然在点与之间，若斜向上，则，

此时中至少有一个的值大于，同理，若斜向下，

则中至少有一个的值大于，∴在区间的最佳逼近直线为．

，当时，的最小值在处取到．而，

∴，

由的任意性可知也具有任意性，即的最小值在处取到，

故函数在区间的最佳逼近直线的方程为．

同理可得的方程为．

又

．

（或∵，∴）

故

【点睛】关键点点睛：对于第二小问：利用构造函数，通过求导知道此函数有两根，∵，通过求导得到故在上存在零点，再利用不等式即可求得结果.

第三小问：先证明在区间的最佳逼近直线为，此时．再求出函数在区间的最佳逼近直线的方程为和的方程为，即可求得结果.

2．（2024·四川成都·模拟预测）设动点到点的距离与到直线的距离之积等于4，动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线与轴的交点的坐标.

(2)过点作不与坐标轴垂直的直线.

（i）判断直线与曲线的交点的个数，并证明你的结论；

（ii）定义平面上个点的重心为满足的点，若直线与曲线的所有交点的重心到点的距离等于，求点的横坐标.

（注：关于的一元次方程有个复数根，且，.）

【答案】(1)与

(2)（i）4个，证明见解析;（ii）

【分析】（1）设点，列式求出曲线的方程，进而求出该曲线与x轴交点坐标.

（2）（i）设出直线的方程并与曲线的方程联立，再构造函数，结合零点存在性定理推理判断即可；（ii）由（i）的信息求出重心的坐标表示式，再与已知结合求出其横坐标.

【详解】（1）设，则，即，

令，得，解得或，

所以曲线与轴交于与三点.

（2）（i）交点个数为4，证明如下：

设直线的方程为，

由，消去得，

即，

记，则至多有4个不相等的实数根，

函数在R上的图象连续不断，

且，，，

，，

从而在，，，上各有一个实数根，

因此有4个不相等的实数根，所以直线与曲线有4个不同的交点.

（ii）设直线与曲线交于点，它们的重心为，

依题意，，则，

，

显然，而，则，即，

整理得，又，即，

因此，

即，

解得，所以点的横坐标为.

【点睛】思路点睛：本题第2问，求直线与曲线交点个数，消元构造函数，转化为零点存在性判断零点个数求解.

3．（2024·山东·模拟预测）在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中．

(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．

实际有雷

实际无雷

总计

检测到有雷

40

24

64

检测到无雷

10

26

36

总计

50

50

100

(2)对任意一次测试，证明：．

(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．

【答案】(1)；．

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；

（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；

（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检