直线与圆小题综合解析- 十年（2015-2024）高考真题数学分项汇编（全国）.docx

专题17直线与圆小题综合

考点

十年考情（2015-2024）

命题趋势

考点1直线方程与圆的方程

（10年5考）

2024·北京卷、2022·全国甲卷、2022·全国乙卷

2018·天津卷、2016·上海卷、2016·浙江卷

2016·天津卷、2016·全国卷、2015·全国卷

2016·北京卷、2015·北京卷

1.理解、掌握直线的倾斜角与斜率及其关系，熟练掌握直线方程的5种形式及其应用，熟练掌握距离计算及其参数求解，该内容是新高考卷的常考内容，通常和圆结合在一起考查，需重点练习

2.理解、掌握圆的标准方程和一般方程，并会基本量的相关计算，能正确处理点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系求解，能利用圆中关系进行相关参数求解，会解决圆中的最值问题，该内容是新高考卷的必考内容，一般考查直线与圆和圆与圆的几何综合，需强化练习

熟练掌握圆中切线问题的快速求解，该内容是新高考卷的常考内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习

强化解析几何联动问题

考点2直线与圆的位置关系及其应用

（10年6考）

2023·全国新Ⅱ卷、2022·北京卷、2022·天津卷

2020·天津卷、2018·全国卷、2016·全国卷

2016·全国卷、2016·全国卷、2016·山东卷

2015·湖北卷、2015·湖北卷、2015·全国卷

考点3圆中的切线问题

（10年7考）

2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2023·天津卷

2022·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷、2020·全国卷

2020·全国卷、2020·浙江卷、2019·浙江卷

2015·山东卷、2015·山东卷、2015·湖北卷

考点4直线、圆与其他知识点综合

（10年7考）

2024·天津卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷

2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷2021·全国乙卷、2021·全国甲卷、2020·山东卷2020·北京卷、、2018·全国卷、2015·全国卷

考点5直线与圆中的最值及范围问题

（10年9考）

2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2023·全国乙卷

2022·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷、2021·全国新Ⅰ卷

2020·全国卷、2020·北京卷、2020·全国卷

2020·全国卷、2019·江苏卷、2018·北京卷

2018·全国卷、2017·江苏卷、2016·四川卷

2016·四川卷、2016·北京卷

考点01直线方程与圆的方程

1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.

【详解】由题意得，即，

则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.

故选：D.

2．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为．

【答案】

【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.

【详解】[方法一]：三点共圆

∵点M在直线上，

∴设点M为，又因为点和均在上，

∴点M到两点的距离相等且为半径R，

∴，

，解得，

∴，，

的方程为.

故答案为：

[方法二]：圆的几何性质

由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线的交点(1,-1).,的方程为.

故答案为：

3．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为．

【答案】或或或．

【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；

【详解】[方法一]：圆的一般方程

依题意设圆的方程为，

（1）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（2）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（3）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；

故答案为：或或或．

[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）

设

（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，

则，所以圆的方程为；

（2）若圆过三点，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；

（3）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为；

（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为．

故答案为：或或或．

【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；

方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．

4．（2018·天津·高考真题）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为．