高一数学重难点专项复习：玩转外接球、内切球、棱切球经典问题（十四大题型）（原卷版）.pdfVIP

重难点08玩转外接球、内切球、棱切球经典问题

【题型归纳目录】

题型一：正方体、长方体模型

题型二：正四面体模型

题型三：对棱相等模型

题型四：直棱柱模型

题型五：直棱锥模型

题型六：正棱锥与侧棱相等模型

题型七：侧棱外接球直径模型

题型八：共斜边拼接模型

题型九：垂面模型

题型十：最值模型

题型十一：二面角模型

题型十二：圆锥圆柱圆台模型

题型十三：锥体内切球

题型十四：棱切球

【方法技巧与总结】

技巧总结一：正方体、长方体外接球

1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半

2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半

3、补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示

2（）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示

3（）正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长。=碧，如图3所示

4（）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

技巧总结二：正四面体外接球

如图，设正四面体ABCD的的棱长为〃，将其放入正方体中，则正方体的棱长为变〃，显然正四面体

2

和正方体有相同的外接球正方体外接球半径为”•?二手a即正四面体外接球半径为R=

技巧总结三：对棱相等的三棱锥外接球

四面体ABCD中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体，可以

通过构造长方体来解决这类问题

121

b+c=m222

如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,C,贝,三式相加可得后+你+°2=『++广,

2

a2+b2=t2

2

而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为A,则4+62+C2=4尺2,所以R=y+厂.

技巧总结四：直棱柱外接球

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

形）

第一步：确定球心。的位置，。是［AABC的外心，则OQ_L平面A5C；

第二步：算出小圆。］的半径A，=r,OO—^AA（AA=6也是圆柱的高）;

X:

22222

第三步：勾股定理：0A=O.A+a。？=R=(-)+r=R=,解出R

技巧总结五：直棱锥外接球

如图，R4_L平面ABC,求外