福建省福州市2024-2025学年高三上册第一次月考数学学情检测试题.docxVIP

福建省福州市2024-2025学年高三上学期第一次月考数学学情

检测试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.（）

A. B.

C. D.

2.已知集合，，则（）

A. B.

C. D.

3.已知样本数据的平均数和标准差均为4，则数据的平均数与方差分别为（）

A. B. C. D.

4.已知函数，则曲线在处的切线方程为（）

A. B.

C. D.

5.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，过该抛物线的顶点作直线的垂线，垂足为点，则点的坐标为（）

A. B.

C. D.

6.已知函数图象的对称轴方程为，则（）

A.1 B. C. D.

7.已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）

A. B.

C. D.

8.已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（）

A6 B.12 C.24 D.32

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知二项式（且，，）展开式中第项为15，则下列结论正确的是（）

A. B.

C. D.

10.已知函数，其中分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数．设“函数的值域为”为事件，“函数为偶函数”为事件，则下列结论正确的是（）

A B. C. D.

11.一般地，我们把三组对棱分别相等的四面体叫做等面四面体．下列结论正确的是（）

A.若一个四面体的四个面的周长都相等，则该四面体是等面四面体

B.等面四面体的一组对棱中点的连线与这组对棱都垂直

C.三组对棱长度分别为，，等面四面体外接球的表面积为

D.过等面四面体任一顶点的三个面且以该点为顶点的三个角之和为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知数列为等差数列，，则______．

13.某金属晶体原子排列的正八面体最密堆积（表示金属晶体原子的六个等径球按如图1所示的方式排列：相邻的两个等径球相切且六个球体中心的连线成正八面体形状，如图2）依然存在空隙（最密堆积中六个球所围成的中间空着的地方）．若等径球的半径为，空隙中能容纳的最大外来原子（图3中位于中间的小球）的半径为，则______．

14.表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是______．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.在中，内角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求的最大值，并判断此时的形状；

（2）若，，求的面积．

16.如图，已知在多面体ABCDEF中，，，平面，平面，

（1）求证：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

17.某学校在2023—2024年度体育节活动中设置了一项趣味轮滑比赛，比赛设置了2个动作项目组，其中项目组一中有3个规定动作，项目组二中有2个自选动作，比赛规则：每位运动员从2个项目组的5个动作中选择3个参赛，最后得分越多者，排名越靠前．评分规则：对于项目组一中的每个动作，若没有完成得0分，若完成得10分．对于项目组二中的动作，若没有完成得0分，若只完成1个得20分，若完成2个得50分．已知运动员甲完成项目组一中每个动作的概率均为，完成项目组二中每个动作的概率均为，且每个动作是否能完成相互独立．

（1）若运动员甲选择项目组一中的3个动作参赛，设甲的最后得分为，求的分布列与数学期望；

（2）以最后得分的数学期望为依据，判断运动员甲应选择怎样的方案参赛，请说明你的理由．

18.已知O为坐标原点，P，Q是双曲线上的两个动点．

（1）若点P，Q在双曲线E的右支上且直线PQ的斜率为2，点T在双曲线E的左支上且，，求双曲线E的渐近线方程；

（2）若，，成等比数列，，证明直线PQ与定圆相切．

19.已知函数．

（1）讨论函数的单调性．

（2）给定且，对于两个大于1的正实数，，若存在实数m满足：，，使得不等式恒成立，则称函数为区间D上的“优化分解函数”．若，函数为区间上的“优化分解函数”，求实数m的取值范围．