1.4.2 空间向量的应用---所成角-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册) (解析版).docxVIP

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空间向量的应用---所成角

1求异面直线a,b

已知a,b为两异面直线,A,C与B,D

PS①向量AC,BD所成角AC,BD的范围是(0,

②AC,BD与θ

故cosθ=|cos

2求直线l和平面α所成的角

设直线l方向向量为a,平面α法向量为n,直线与平面所成的角为θ,a与n的夹角为α

则θ为α的余角或α的补角的余角,即有

PS

当θ=π2-α时,

不管哪种情况,都有sin

3求平面α与平面β的夹角

(1)二面角的平面角是指在二面角α-l-

AO⊥l,BO⊥l,则∠AOB为二面角α

如图:

(2)平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角不大于90o的二面角称为平面α与平面β的夹角

(3)空间向量求平面α与平面β的夹角

求法:设平面α与平面β的法向量分别为m,

再设m,n的夹角为φ,平面α与平面β的平面角为θ,则θ为φ或π-

则cos

【题型一】求异面直线所成的角

【典题1】如图,S是三角形ABC所在平面外的一点,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=π2,M、

【解析】∵∠ASB=∠BSC

∴以S为坐标原点,分别以SC,SB,

设SA=SB=SC

则S(0,0,0),B(0,2,0),M

则SM=(0,1,1)

∴cos

∴异面直线SM与BN所成角的余弦值为105

【点拨】

向量法求异面直线SM与BN所成角的步骤

①建系求出涉及的S、

②求SM,BN得到

③由公式cosθ=|cosSM,

【典题2】已知正四棱锥V-ABCD底面中心为O,E,F分别为VA,VC的中点,底面边长为2,高为4,建立适当的空间直角坐标系,求异面直线

【解析】以底面正方形ABCD中心O为原点,以OA为x轴,OB为y轴,OV为z轴,建立空间直角坐标系,

则A(2,0,0),B(0,2

V(0,0,4),E(2

∴BE=(22,-2

cos

设向量BE和DF成角为θ,∴cosθ

∴sinθ

∴tanθ

∴异面直线BE与DF所成角的正切值为410

【点拨】向量BE,DF所成角BE,DF是个钝角,而异面直线BE

巩固练习

1(★)如图,ABC﹣A1B1C1

若BC=CA=AA1,则BE与

【答案

【解析】∵ABC﹣A

∴以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CC1为

点E、F分别是A1B1

则B(0,2,0),A(2,0,0),E(1,1,2)

BE→=(1,

设BE与AF所成角为θ,

则cosθ

∴BE与AF所成角的余弦值为30

【题型二】求线面角

【典题1】如图示,三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,且PA=PB=AB=2,

【解析】∵三棱椎P-ABC

∠ACB=90°,且PA=

∴可以把三棱椎P-ABC补成棱长为1的正方体,如图,以

则A(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0)

AP=(1,0,1),AB=(1,1,0),

设面ABP的法向量为m=(

m?AP=

∴cos

则PC与面PAB所成角的正弦值等于13

【点拨】

①本题根据“墙角模型”巧妙的构造一个长方体进而建系;

②向量法求直线PC与面PAB所成角的步骤

(1)求直线PC的方向向量PC和平面PAB的法向量m;

(2)求cos

(3)求PC与面PAB所成角的正弦值sin

【典题2】在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=π3,AB=2AD=2CD=4,P为AB的中点,线段AC与DP交于O点(如图1).将△ACD沿

(1)求证:BC∥平面POD

(2)线段PD上是否存在点Q,使得CQ与平面BCD所成角的正弦值为68

【解析】(1)证明:因为在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD=4

所以CD∥AP,CD=

因为线段AC与DP交于O点,所以O为线段AC的中点,

所以△ABC中OP

因为OP?平面POD,BC?

所以BC∥平面POD

(2)解:平行四边形APCD中,AP=

所以四边形APCD是菱形,AC⊥DP,垂足为

所以AC⊥OD

因为OD?平面ACD,OP?

所以∠DOP

因为二面角B-

所以∠DOP

可以如图建立空间直角坐标系O-xyz,其中

因为在菱形APCD中,∠BAD=π

所以B(-3,2,0),P(0,1,0),

所以BD=(3

设n=(x,

因为n?CB=0

取x=1,得n

线段PD上存在点Q使得CQ与平面BCD所成角的正弦值为

设PQ=

因为CP=(3,1,0)

所以CQ=

因为cos

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