2024-2025学年上海控江中学高三上学期数学期中试卷及答案（2024.10）.docxVIP

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控江中学2024学年第一学期高三年级数学期中

2024.11

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.设,不等式的解集为.

2.已知全集,则.

3.已知复数满足(其中i是虚数单位),则.

4.设.若向量与向量平行,则.

5.曲线在点处的切线方程为.

6.在的二项展开式中,常数项为（用数值回答）.

7.设,函数是奇函数.若,则.

8.设等差数列的公差不为0,其前项和为.若,则.

9.设,函数若关于的方程恰有一解,则的取值范围为.

10.设.对于样本数据,若该样本的第60百分位数是一个整数,则符合题意的的个数为.

11在空间中,是一个定点,已知圆锥上的所有点到的距离都不超过1,则当该圆锥的体积取得最大值时,底面半径为.

12.在平面直角坐标系中,已知椭圆以及圆,若点分别在上,点满足,则的最小值为.

二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13.下列方程中，能够表示双曲线的一条渐近线的是（）.

A.B.C.D.

14.在正方体中,是的中点,则在下列直线中，与直线相交的是（）.

A.直线B.直线C.直线D.直线

15.设.若关于的等式恒成立,则满足条件的有序实数对的对数是（）.

A.1B.2C.3D.4

16.已知函数的图像为曲线.关于命题(1)任取平面上的一点,与曲线关于点对称的曲线总能表示函数和命题(2)存在倾斜角的直线,使得与曲线关于对称的曲线能表示函数的真假判断，下列说法正确的是（）.

A.(1)和(2)都是真命题B.(1)和(2)都是假命题

C.(1)是真命题，(2)是假命题D.(1)是假命题，(2)是真命题

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

在直四棱柱中,底面是菱形,且.

（1）求证:直线;

（2）求二面角的大小.

18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

在中,角所对的边分别为,已知.

（1）若,求;

（2）若,求的周长.

19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

为迎接我校校庆，文创中心组统师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类.校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品.在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺为手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示：

书签

明信片

手绘款

40

普通款

150

120

设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品；小江补领了手绘款明信片40张.记事件：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件：首位抵达的校友没有抽到明信片,分别计算,并判断事件是否独立;【上海数学研讨】

（2）设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品.若小江希望事件首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品发生概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片?

20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线与抛物线及圆的四个交点依次为.

（1）若点的纵坐标为1，求;

（2）证明为定值，并求出该定值;

（3）过分别作抛物线的切线,且交于点求与的面积之和的最小值.

21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)

设函数的定义域为.对于闭区间,若存在,使得对任意,均有成立则记;若存在,使得对任意,均有成立,则记.【上海数学研讨】

（1）设,分别写出及；

（2）设.若对任意闭区间,均有不等式成立，求的最大值;

（3）已知对任意闭区间与均存在，求证：是上的严格增函数或是上的严格减函数的充要条件是对任意两个不同的闭区间,与至少有一个成立.

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参考答案

一、填空题

1.;2.;3.;4.;5.;6.;