2024-2025学年上海南洋中学高三上学期数学期中试卷及答案（2024.11）.docxVIP

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南洋中学2024学年第一学期高三年级数学期中

2024.10

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．设全集，集合，则________．

2．抛物线的焦点坐标是________．

3．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为________．

4．的展开式中项的系数为280，则实数________．

5．已知函数的表达式为，则函数的值域为________．

6．已知向量和的夹角为，且，，则________．

7．已知直线和圆相交于、两点．若，则的值为________．

8．三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为________．

9．在中，角、、的对边分别为、、．已知，，，则的面积为________．

10．直线与曲线相切，则实数的值是________．

11．已知、，，且恒成立，则实数的取值范围是________．

12．椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形；②是钝角三角形；③线段为的腰；④椭圆上恰好有4个不同的点．则椭圆的离心率的取值范围是________．

二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分）

13．已知、、，，下列不等式恒成立的是（）

A． B．C． D．

14．已知，，则（）

A．B． C． D．

15．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包可近似看作由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为，是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（）

A． B．

C． D．

16．我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，给出下列两个命题：

命题：若函数满足为奇函数，且的图像与函数的图像有2024个交点，记为，则；

命题：函数的导函数的图像关于直线对称．

则下列说法正确的是（）

A．命题是真命题，命题是假命题；B．命题是假命题，命题是真命题；

C．命题、命题都是真命题；D．命题、命题都是假命题．

三、解答题（共78分）

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数是定义域为的偶函数．

（1）求实数的值；

（2）已知关于的方程在上有解，求实数的取值范围．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数的表达式为．

（1）求函数的单调增区间；

（2）求方程在上的解．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，，，为的中点．

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．

20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

如图，已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，、为双曲线的左、右顶点，为双曲线右支上的动点，直线和直线交于点，直线交双曲线的右支于点．

（1）求双曲线的方程；

（2）若点在第一象限，且满足，求的面积；

（3）探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

若函数在区间上有定义，且对任意的，有，则称是的一个“封闭区间”．

（1）已知函数，区间是的一个“封闭区间”，求的取值集合；

（2）已知函数，设集合．

①求集合中元素的个数；

②用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．

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参考答案

一、填空题

1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.

11．已知、，，且恒成立，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】因为,所以,所以,

因为

当且仅当,即,即时取得等号，所以有最小值为3,因为恒成立,所以,即,解得,故答案为:.

12．椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形；②是钝角三角形；③线段为的腰；④椭圆上恰好有4个不同的点．则椭圆的离心率的取值范围是____