重难点07 双变量问题【九大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）.docxVIP

重难点07双变量问题【九大题型】

【新高考专用】

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【题型1双变量单调性问题】 2

【题型2双变量的最值（取值范围）问题】 7

【题型3双变量问题转化为单变量问题】 11

【题型4与极值点有关的双变量问题】 16

【题型5与零点有关的双变量问题】 21

【题型6双变量的恒成立问题】 25

【题型7双变量的不等式证明问题】 31

【题型8与切线有关的双变量问题】 37

【题型9双变量的新定义问题】 42

1、双变量问题

导数是高中数学的重要考查内容，是高考常考的热点内容，而导数中的双变量问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及双变量的恒成立问题、双参数不等式问题以及双变量的不等式证明等问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵活求解.

【知识点1导数中的双变量问题】

1．导数中的双变量问题

导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．

【知识点2导数中的双变量问题的解题策略】

1．转化为同源函数解决双变量问题

此类问题一般是给出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.

2．整体代换解决双变量问题

(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x1，x2的式子.

(2)与极值点x1，x2有关的双变量问题：一般是根据x1，x2是方程f(x)=0的两个根，确定x1，x2的关系,再通过消元转化为只含有x1或x2的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为x1，x2的齐次式，然后转化为关于的函数，把看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.

3．构造函数解决双变量问题的答题模板

第一步：分析题意，探究两变量的关系；

第二步：合二为一，变为单变量不等式；

第三步：构造函数；

第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题；

第五步：反思回顾解题过程，规范解题步骤.

【题型1双变量单调性问题】

【例1】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数fx=xlnx-12ax2，

(1)若gx=f(x

(2)若对于任意的x1，x2∈(0,+∞)

【解题思路】（1）求导，分a≤0，2a≥e，

（2）题意转化为不妨设x1x2，fx1-x1fx2-x2

【解答过程】（1）因为gx=lnx

①当a≤0时，因为x∈1,

所以函数gx在1,e上单调递增，则

②当2a≥e，即0a≤

所以函数gx在1,e上单调递增，则

③当12a

x∈1,2a，g

所以函数gx在1,2a

则gxmax

④当02a≤1，即a≥2时，x∈1,e，g

综上，gx

（2）对于任意的x1，x2∈(0,+

不妨设x1x2

令Fx=f

当x1x2时，Fx

所以Fx=fx-

令gx=ln

所以当x∈0,e时，gx0，g

所以g(x)

【变式1-1】（23-24高二下·上海·期末）已知fx

(1)求曲线y=fx

(2)若对任意的x1,x2∈0,+∞，且

【解题思路】（1）先求导函数，再得出斜率写出切线方程即可；

（2）把恒成立转化为函数单调性，再根据单调性转化为最值问题求解即得

【解答过程】（1）由题意知f

则曲线y=fx在

（2）不妨设x1

f

?

则设gx=fx-

则g

则2

设h

则当x∈e2,+∞时，h

递减，则h

则实数m的取值范围为-∞

【变式1-2】（23-24高二下·上海·期末）已知函数f

(1)当a=1时，求函数f

(2)若fx1-fx2

【解题思路】（1）求出函数的导数，根据导数与极值的关系，即可求得答案；

（2）将fx1-fx2x1-x2-2

【解答过程】（1）当a=1时，fx=

则f

令fx0，则0x12

则fx在0,12

故函数fx的极大值为f

（2）因为fx1-

所以fx1+2

令m(x)=f(

则原问题转化为m(x)

又m

当a=0时，mx=1

当a≠0时，需mx

即2ax2

对于y=2ax2-

故要使得2ax2-ax+1≥0在

解得0a

综合可得0≤a≤8，即a的取值范围为

【变式1-3】（2024·山西吕梁·三模）已知函数fx

(1)讨论函数的单调性；

(2)若对任意的x1,x2∈0,+

【解题思路】（1）由fx=x2-2x+alnx,a

（2）法一：由x2fx1-x1fx2x

法二：由x2