专题50 三角形相似-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.pdfVIP

专题50三角形相似

一、相似三角形的判定与性质的综合运用

【典例】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，

D重合），AM，AN分别交BD于E，F两点，且∠MAN＝45°，则下列结论：①MN＝BM+DN；②△AEF

2

∽△BEM；③=；④△FMC是等腰三角形．其中正确的是．（填写正确序号）

2

【解答】解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，

∵∠M′AN＝∠DAN+∠MAB＝45°，AM′＝AM，BM＝DM′，

∵∠M′AN＝∠MAN＝45°，AN＝AN，

∴△AMN≌△AM′N（SAS），

∴MN＝NM′，

∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN，

∴MN＝BM+DN；故①正确；

∵∠FDM′＝135°，∠M′AN＝45°，

∴∠M′+∠AFD＝180°，

∵∠AFE+∠AFD＝180°，

∴∠AFE＝∠M′，

∵∠AMB＝∠M′，

∴∠AMB＝∠AFE，

∵∠EAF＝∠EBM＝45°，

∴△AEF∽△BEM，故②正确；

∴=，即=，

∵∠AEB＝∠MEF，

∴△AEB∽△FEM，

∴∠EMF＝∠ABE＝45°，

∴△AFM是等腰直角三角形，

2

∴=；故③正确；

2

在△ADF与△CDF中，

AD=DC

∠=∠=45°，

=

∴△ADF≌△CDF（SAS），

∴AF＝CF，

∵AF＝MF，

∴FM＝FC，

∴△FMC是等腰三角形，故④正确；

故答案为：①②③④．

1

【巩固】如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且=，CE⊥DF，垂足为点M，且交AD于点E，AC

2

12

与DF交于点N，延长CB至G，使BG=BC，连接GM．有如下结论：①AE＝BF；②AN=AD；③∠

24

1

ADF＝∠GMF；④S△ANF=S△ABC，上述结论中，正确的是（）

9

A．①②B．①③C．①②③D．②③④

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，

∵CE⊥DF，

∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，

∴∠ADF＝∠DCE，

在△ADF与△DCE中，

∠DAF=∠CDE

=，

∠=∠

∴△ADF≌△DCE（ASA），

∴DE＝AF，

∴AD﹣DE＝BC﹣AF，即AE＝BF，故①正确；

∵AB∥CD，

∴=，

∵AF：FB＝1：2，

∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，

1

∴=，

3

1

∴=，

4

∵AC=2AD，