专题41 几何问题（1）之动点问题【热点专题】（解析版）.pdfVIP

专题41几何问题（1）之动点问题

题型精讲

题型一：圆背景下的动态探究题

【例1】（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水

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能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、

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B筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚

浮出水面时开始计算时间．

（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？

（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m．求盛水筒P从最高点开始，

至少经过多长时间恰好在直线MN上．

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（参考数据：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈）

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【分析】（1）如图1中，连接OA．求出∠AOC的度数，以及旋转速度即可解决问题．

（2）如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，过点P作PD⊥OC于D，解直

角三角形求出CD即可．

（3）如图3中，连接OP，解直角三角形求出∠POM，∠COM，可得∠POH的度数即可解决问题．

【解析】（1）如图1中，连接OA．

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由题意，筒车每秒旋转360°×÷60＝5°，

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2.211

在Rt△ACO中，cos∠AOC===．

315

∴∠AOC＝43°，

18043

∴=27.4（秒）．

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答：经过27.4秒时间，盛水筒P首次到达最高点．

（2）如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，

∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝43°+17°＝60°，

过点P作PD⊥OC于D，

1

在Rt△POD中，OD＝OP•cos60°＝3×=1.5（m），

2

2.2﹣1.5＝0.7（m），

答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面0.7m．

（3）如图3中，

∵点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，

∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP⊥MN，

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在Rt△OPM中，cos∠POM==，

8

∴∠POM＝68°，

2.211

在Rt△COM中，cos∠COM===，

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∴∠COM＝74°，

∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180°﹣68°﹣74°＝38°，

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∴需要的时间为=7.6