专题40 中考最值难点突破费马点问题（解析版）.pdfVIP

专题40中考最值难点突破费马点问题（解析版）

模块一典例剖析+针对训练

费马点问题解题技巧：旋转变换．

类型一费马点模型

典例1（2020秋•仓山区校级期中）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝

120°，则点P叫做△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的和最小，称为△ABC的费马距离．

（1）若点P是等边三角形三条高的交点，点P是（填是或不是）该三角形的费马点．

（2）如图（2），分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．求证：P点

为△ABC的费马点．

（3）若图（2）中，AB＝5，AC＝4，BC＝a，BD＝b，则△ABC的费马距离＝b．

思路引领：（1）依据等腰三角形三线合一的性质可知：MB平分∠ABC，则∠ABP＝30°，同理∠BAP＝

30°，则∠APB＝120°，同理可求得∠APC，∠BPC的度数，然后可作出判断；

（2）如图2所示：首先证明△ACE≌△ABD，则∠1＝∠2，由∠3＝∠4可得到∠CPD＝∠5，由∠CPD＝

60°可证明∠BPC＝120°，然后证明△ADF∽△CFP，由相似三角形的性质和判定定理再证明△AFP∽

△CDF，故此可得到∠APF＝∠ACD＝60°，然后可求得∠APC＝120°，接下来可求得∠APB＝

120°．

（3）如图2﹣1中，在PD上取一点T，使得PT＝CP．利用全等三角形的性质证明PA+PC＝PD的，再

证明PA+PB+PC＝BD即可．

解：（1）如图1所示：

∵AB＝BC，BM是AC的中线，

∴MB平分∠ABC．

同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．

∴∠APB＝120°．

同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．

∴P是△ABC的费马点．

故答案为：是．

（2）设AC交BD于点F，如图2所示：

∵△ABE与△ACD都为等边三角形，

∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，

∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，

在△ACE和△ABD中，

=

∠=∠，

=

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴∠1＝∠2，

∵∠3＝∠4，

∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；．

∵△ADF∽△CPF，

∴AF•PF＝DF•CF，

∵∠AFP＝∠CFD，

∴△AFP∽△CDF．

∴∠APF＝∠ACD＝60°，

∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，

∴∠BPC＝120°，

∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，

∴P点为△ABC的费马点．

（3）如图2﹣1中，在PD上取一点T，使得PT＝CP．

∵∠CPT＝60°，PT＝CP，

∴△CPT是等边三角形，

∴CP＝PT，∠PCT＝60°，

∵CA＝CD，∠ACD＝60°，

∴∠ACD＝∠PCT，

∴∠ACP＝∠DCT，

∴△ACP≌△DCT（SAS），

∴PA＝DT，

∵PD＝PT+DT，

∴PD＝PA+PC，

∴PA+PB+PC＝PB+PD＝BD＝b，

故答案为：B．

总结提升：本题属于三角形专题，主要考查的是相似三角形的综合应用，解答本题主要应用了等边三角

形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定等知识，证得∠5＝∠

6、△AFP∽△CDF是解答本题的关键．

针对训练

1．（2021春•滨海县期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B

点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）当M点在何处时，2AM的值最小，并说