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专题40中考最值难点突破费马点问题(解析版)

模块一典例剖析+针对训练

费马点问题解题技巧:旋转变换.

类型一费马点模型

典例1(2020秋•仓山区校级期中)如图(1),P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=

120°,则点P叫做△ABC的费马点,此时PA+PB+PC的和最小,称为△ABC的费马距离.

(1)若点P是等边三角形三条高的交点,点P是(填是或不是)该三角形的费马点.

(2)如图(2),分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于P点.求证:P点

为△ABC的费马点.

(3)若图(2)中,AB=5,AC=4,BC=a,BD=b,则△ABC的费马距离=b.

思路引领:(1)依据等腰三角形三线合一的性质可知:MB平分∠ABC,则∠ABP=30°,同理∠BAP=

30°,则∠APB=120°,同理可求得∠APC,∠BPC的度数,然后可作出判断;

(2)如图2所示:首先证明△ACE≌△ABD,则∠1=∠2,由∠3=∠4可得到∠CPD=∠5,由∠CPD=

60°可证明∠BPC=120°,然后证明△ADF∽△CFP,由相似三角形的性质和判定定理再证明△AFP∽

△CDF,故此可得到∠APF=∠ACD=60°,然后可求得∠APC=120°,接下来可求得∠APB=

120°.

(3)如图2﹣1中,在PD上取一点T,使得PT=CP.利用全等三角形的性质证明PA+PC=PD的,再

证明PA+PB+PC=BD即可.

解:(1)如图1所示:

∵AB=BC,BM是AC的中线,

∴MB平分∠ABC.

同理:AN平分∠BAC,PC平分∠BCA.

∵△ABC为等边三角形,

∴∠ABP=30°,∠BAP=30°.

∴∠APB=120°.

同理:∠APC=120°,∠BPC=120°.

∴P是△ABC的费马点.

故答案为:是.

(2)设AC交BD于点F,如图2所示:

∵△ABE与△ACD都为等边三角形,

∴∠BAE=∠CAD=60°,AE=AB,AC=AD,

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,

在△ACE和△ABD中,

=

∠=∠,

=

∴△ACE≌△ABD(SAS),

∴∠1=∠2,

∵∠3=∠4,

∴∠CPD=∠6=∠5=60°;.

∵△ADF∽△CPF,

∴AF•PF=DF•CF,

∵∠AFP=∠CFD,

∴△AFP∽△CDF.

∴∠APF=∠ACD=60°,

∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°,

∴∠BPC=120°,

∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°,

∴P点为△ABC的费马点.

(3)如图2﹣1中,在PD上取一点T,使得PT=CP.

∵∠CPT=60°,PT=CP,

∴△CPT是等边三角形,

∴CP=PT,∠PCT=60°,

∵CA=CD,∠ACD=60°,

∴∠ACD=∠PCT,

∴∠ACP=∠DCT,

∴△ACP≌△DCT(SAS),

∴PA=DT,

∵PD=PT+DT,

∴PD=PA+PC,

∴PA+PB+PC=PB+PD=BD=b,

故答案为:B.

总结提升:本题属于三角形专题,主要考查的是相似三角形的综合应用,解答本题主要应用了等边三角

形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定等知识,证得∠5=∠

6、△AFP∽△CDF是解答本题的关键.

针对训练

1.(2021春•滨海县期中)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B

点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.

(1)求证:△AMB≌△ENB;

(2)当M点在何处时,2AM的值最小,并说

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