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有理数、代数式中的新定义运算

1．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如．

(1)求的值；

(2)求的值．

2．已知表示不超过x的最大整数，例如：，现定义，例如：．

(1)________，________；

(2)求的值；

(3)求的值．

3．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：．

(1)求的值；

(2)若的值与b互为相反数，求b的值．

4．定义新运算：对于任意有理数、，都有．等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．

计算：

(1)；

(2)

65．小明同学学习了有理数后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”，规则如下：对于两个有理数a，b，.

(1)计算：______，______；

(2)设，试比较的大小，并说明理由；

(3)已知，且，请直接写出满足条件的x的最小值.

6．【问题背景】

定义一种新运算“*”：其运算结果的符号同号取正，异号取负，数值为其绝对值相加的和，0与图任何数进行“*”的运算都得这个数的绝对值．例如：

，；

，；

，；

…

【问题再现】（1）计算：；

【拓展提升】（2）计算：．

7．定义：若两个式子的和等于一个常数，则称这两个式子是关于该常数的组合式．

(1)和______是关于0的组合式；

(2)已知，a与b是关于3的组合式吗？说明理由；

(3)已知，且c与d是关于常数m的组合式，请探索m的取值范围与对应的x取值的个数．

8．定义一种新运算：观察下列式：；；．

(1)请你想一想：用代数式表示；

(2)若，那么（用“”、“”或“=连接”）；

(3)若，请计算：的值．

9．定义：若，则称a与b是关于1的平衡数．

(1)5与是关于1的平衡数；与是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示）

(2)若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．

10．定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数．例如：，就称2与5是关于7的友好数．

(1)2与________是关于3的友好数，与________是关于3的友好数（填一个含x的代数式）；

(2)若，，判断a与b是否是关于3的友好数，并说明理由；

(3)若，，且c与d是关于3的友好数，若x为正整数，求非负整数k的值．

参考答案

1．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．

（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；

（2）原式利用题中的新定义计算即可求出值．

【详解】（1）解：；

（2）解：∵，

∴．

2．已知表示不超过x的最大整数，例如：，现定义，例如：．

(1)________，________；

(2)求的值；

(3)求的值．

【答案】(1)，0.8；

(2)1.1；

(3)．

【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题关键是正确得出最大整数：

（1）根据取整定义直接求值即可；

（2）根据取整定义求出每一项的最大整数，然后再进行计算即可；

（3）根据取整定义求出每一项的最大整数，然后再进行计算即可．

【详解】（1）解：；

，

故答案为：；0.8；

（2）解：

；

（3）解：

3．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：．

(1)求的值；

(2)若的值与b互为相反数，求b的值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】本题主要新定义运算规则下的运算，关键是要理解新的运算规则．

（1）根据定义新运算“※”的法则计算即可求解；

（2）根据定义新运算“※”的法则计算，再求其相反数即可．

【详解】（1）解：根据题中的新定义得：

；

（2）解：

．

∵的值与b互为相反数，

∴．

4．定义新运算：对于任意有理数、，都有．等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．

计算：

(1)；

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，

（1）原式利用新定义运算进行计算即可得到结果；

（2）先根据新定义运算计算小括号里面的式子，再把所得的结果与小括号外面的数根据新定义运算进行计算即可；

熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．

【详解】（1）解：

；

（2）∵，

∴

．

5．小明同学学习了有理数后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”，规则如下：对于两个有理数a，b，.

(1)计算：______，______；

(2)设，试比较的大小，并说明理由；

(3)已知，且，请直接写出满足条件的x的最小值.

【答案】(1)2，2

(2)，理由见解析

(3)

【分析】（1）根据新运算“”规则直接计算即可；

（2）根据新运算“”规则表示出，即可比较大小；

（3）根据新运算“”规则可得，令，分和两种情况，利用绝对值的几何意义求出t的取值范围，进而求出x的取值范围，即可求解

【详解