专题25 解三角形的综合应用-高考数学一轮复习（文理通用）（原卷版）.docVIP

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题25解三角形的综合应用

必威体育精装版考纲

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

基础知识融会贯通

实际测量中的常见问题

【知识拓展】

实际问题中的常用术语

1．仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

2．方向角

相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

3．方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

4．坡度(又称坡比)

坡面的垂直高度与水平长度之比．

重点难点突破

【题型一】求距离、高度问题

【典型例题】

某船只在海面上向正东方向行驶了xkm迅速将航向调整为南偏西60°，然后沿着新的方向行驶了3km，此时发现离出发点恰好3km，那么x的值为（）

A．3 B．6 C．3或6 D．4或6

【再练一题】

我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”

（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈＝5步）．

则海岛高度为（）

A．1055步 B．1255步 C．1550步 D．2255步

思维升华求距离、高度问题的注意事项

(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

【题型二】求角度问题

【典型例题】

（Ⅰ）叙述并证明平面向量基本定理：

（Ⅱ）在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．

【再练一题】

如图，有一壁画，最高点A处离地面6m，最低点B处离地面3.5m，若从离地高2m的C处观赏它，则离墙m时，视角θ最大．

思维升华解决测量角度问题的注意事项

(1)首先应明确方位角或方向角的含义；

(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；

(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．

【题型三】三角形与三角函数的综合问题

【典型例题】

已知函数，x∈R．

（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；

（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c＝3，f（C）＝0，若sin（A+C）＝2sinA，求a，b的值．

【再练一题】

已知函数的最大值是2，且f（0）＝1．

（Ⅰ）求φ的值；

（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，f（2A）＝2，2bsinCc．求△ABC的面积．

思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．

基础知识训练

1．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试】我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值可表示成（）

A． B． C． D．

2．【吉林省长春市2019年高三质量监测（四)】《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆，之间距离为步，两标杆的底端与海岛的底端在同一直线上，从第一个标杆处后退123步，人眼贴地面，从地上处仰望岛峰，三点共线；从后面的一个标杆处后退127步，从地上处仰望岛峰，三点也共线，则海岛的高为（）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺