专题65 几何概型 （解析版）.docVIP

专题65几何概型

必威体育精装版考纲

1.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.

2.了解几何概型的意义.

基础知识融会贯通

1．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

2．在几何概型中，事件A的概率的计算公式

P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度?面积或体积?,试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?).

3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．

4．随机模拟方法

(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．

(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝eq\f(M,N)作为所求概率的近似值．

重点难点突破

【题型一】与长度、角度有关的几何概型

【典型例题】

在区间（0，6）中任取一个实数a，使函数f（x），在R上是增函数的概率为（）

A． B． C． D．

【解答】解：∵函数f（x），在R上是增函数，

∴，解得1＜a≤2，

∴由几何概型得从区间（0，6）中任取一个值a，

则函数f（x）是增函数的概率为p．

故选：A．

【再练一题】

如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠A＝120°，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM的概率为（）

A． B． C． D．

【解答】解：在△ABM中，AM，

即BM＝AM，

则∠BAM＝30°，

则BM的概率，

故选：A．

思维升华求解与长度、角度有关的几何概型的方法

求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．

【题型二】与面积有关的几何概型

命题点1与平面图形面积有关的问题

【典型例题】

如图，在区域：x2+y2≤4内取一点，则该点恰好取自阴影部分（阴影部为“x2+y2≤4”与“（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2”的公共部分）的概率是（）

A． B．1 C．1 D．

【解答】解：阴影部分面积为圆“（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2的半圆和圆x2+y2＝4的弓形面积之和，

即（）2π×22﹣2＝2π﹣2，

故所求概率为．

故选：A．

【再练一题】

黄金矩形是宽（b）与长（a）的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF，再把矩形BCEF分割出正方形CEGH．在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是（）

A． B． C．2 D．

【解答】解：设AB＝a，BC＝b，则面积S＝ab，且，

由题意可知，正方形CEGH的边长CE＝a﹣b，其面积为S′＝（a﹣b）2，

矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率P，

，

故选：C．

命题点2与线性规划知识交汇命题的问题

【典型例题】

已知正数a，b均小于2，若a、b、2能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形的三条边长的概率是（）

A． B． C． D．

【解答】解：0＜a＜2，0＜b＜2，a，b，c能作为三角形的三条边长，则，它们能构造钝角三角形的三边长，则，

如图：表示的图形的面积为2，

表示图形的面积为π×222×2＝π﹣2，

所以根据几何概型可得所求概率为1．

故选：B．

【再练一题】

在长为2的木棍上随机选择一点切断为两根，它们能够与另一根长为1的木棍组成三角形的概率为（）

A． B． C． D．

【解答】解：设将长为2的木棍上随机选择一点切断为两根，两根长度分别为x、2﹣x，

它们能够与另一根长为1的木棍组成三角形，

则有，解得：，

设“它们能够与另一根长为1的木棍组成三角形”为事件A，

由几何概型中的线段型可得：

P（A），

故选：C．

命题点3与定积分交汇命题的问题

【典型例题】

如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

A． B． C． D．

【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，

由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω），

满足所投的点落在阴影图内所对应的几何度量：

S（A）（cosx﹣sinx）dx＝（sinx+cosx）1；

所以P（A）．

故选：B．

【再练一题】

如图，矩形ABCD中曲线的方程分别是y＝sinx，y＝cosx，在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）