专题71 数学归纳法（解析版）.docVIP

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题71数学归纳法

必威体育精装版考纲

1.了解数学归纳法的原理.

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

基础知识融会贯通

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

重点难点突破

【题型一】用数学归纳法证明等式

【典型例题】

已知数列{an}前n项的和为Sn，且满足．

（Ⅰ）求s1、s2、s3的值；

（Ⅱ）用数学归纳法证明．

【解答】解：（Ⅰ）∵an＝n2，n∈N*

∴s1＝a1＝1，s2＝a1+a2＝1+4＝5，s3＝a1+a2+a3＝1+4+9＝14．…

（Ⅱ）证明：（1）当n＝1时，左边＝s1＝1，

右边1，

所以等式成立．…

（2）假设n＝k（k∈N*）时结论成立，即Sk，…

那么，Sk+1＝Sk+（k+1）2

（k+1）2

即n＝k+1时，等式也成立．…

根据（1）（2）可知对任意的正整数n∈N*都成立．…

【再练一题】

用数学归纳法证明：1时，由n＝k到n＝k+1左边需要添加的项是．

【解答】解：∵n＝k时，左边最后一项为，n＝k+1时，左边最后一项为，

∴从n＝k到n＝k+1，不等式左边需要添加的项为一项为，

故答案为：，

思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意

(1)明确初始值n0的取值并验证当n＝n0时等式成立．

(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．

(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．

【题型二】用数学归纳法证明不等式

【典型例题】

用数学归纳法证明：??．

【解答】证明：①∵当n＝1时，0，

∴，∴，即n＝1时，不等式成立；

②假设当n＝k时，不等式成立，即???…?．

则当n＝k+1时，???…???，

∵（）2﹣（）20，

∴（）2＜（）2，

∴，即n＝k+1时，原不等式也成立；

综合①②知，对任意n∈N*，??．

【再练一题】

用数学归纳法证明不等式1n（n∈N*）过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左端增加的项数是（）

A．1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1

【解答】解：由题意，n＝k时，最后一项为，n＝k+1时，最后一项为

∴由n＝k变到n＝k+1时，

不等式左边增加的项数是（2k+1﹣1）﹣（2k﹣1）＝2k．

故选：C．

思维升华数学归纳法证明不等式的适用范围及关键

(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．

(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．

【题型三】归纳—猜想—证明

命题点1与函数有关的证明问题

【典型例题】

已知y＝f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy．

（1）求f（0）的值；

（2）若f（1）＝1，求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）表达式并用数学归纳法证明；

（3）若．

【解答】解：（1）令x＝y＝0，则f（0）＝0；

（2）f（2）＝4，f（3）＝9，f（4）＝16，猜想f（n）＝n2，

①当n＝1时，显然成立；

②设n＝k时成立，即f（k）＝k2，则n＝k+1时，f（k+1）＝f（k）+f（1）+2k＝（k+1）2即＝k+1时，成立

综上知f（n）＝n2，成立

（3）设

令

变形为：，因此数列是等比数列，

首项为，∴

∴

【再练一题】

已知f（n）＝1，g（n）（3），n∈N*．

（1）当n＝1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；

（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并用数学归纳法证明．

【解答】解：（1）当n＝1时，f（1）＝1＝g（1）；

当n＝2时，f（2），g（2），∴f（2）＜g（2）；

当n＝3时，f（3），g（3），∴f（3）＜g（3）．

（2）由（1）猜想：f（n）≤g（n），下面利用数学归纳法证明：①当n＝1，2，3时，不等式成立．

②假设当n＝k（k∈N*）（k≥3）时，不等式成立，即1（3）．

则当n＝k+1时，则f（k+1）＝f（k），

∵0，∴，

∴f（k+1）g（k+1），即当n＝k+1时，不等式成立．由①②可知：对?n∈N*，都有f（n）≤g（n）．

命题点2与数列有关的证明问题

【典型例题】

已知a1（n∈N*）

（1）求a2，a3，a4并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达