专题11 函数与方程-高考数学一轮复习（文理通用）（原卷版）.docVIP

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题11函数与方程

必威体育精装版考纲

结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

基础知识融会贯通

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)三个等价关系

方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系

【知识拓展】

有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

重点难点突破

【题型一】函数零点所在区间的判定

【典型例题】

函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）

A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）

【再练一题】

函数f（x）＝log8x的一个零点所在的区间是（）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

思维升华确定函数零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在性定理；

(2)数形结合法．

【题型二】函数零点个数的判断

【典型例题】

已知偶函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+1）＝f（x﹣1）且x∈[0，1]时f（x）＝x，则函数g（x）＝f（x）﹣log3|x|的零点个数共有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【再练一题】

已知f（x）x，则y＝f（x）的零点个数是（）

A．4 B．3 C．2 D．1

思维升华函数零点个数的判断方法：

(1)直接求零点；

(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数；

(3)利用函数图象的交点个数判断．

【题型三】函数零点的应用

命题点1根据函数零点个数求参数

【典型例题】

已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1．

（1）若f（x）在x＝1处取到极值，求实数a的值；

（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．

【再练一题】

已知函数的图象过点．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2m+3有3个零点，求m的取值范围．

命题点2根据函数有无零点求参数

【典型例题】

已知函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+b，f（1）＝1．

（1）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围；

（2）若函数f（x）的图象的对称轴是x＝1，解不等式f（x）＞1．

【再练一题】

已知f（x）＝acos2x+2cosx﹣3

（Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）的值域；

（Ⅱ）若函数y＝f（x）存在零点，求a的取值范围．

命题点3根据零点的范围求参数

【典型例题】

已知函数f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，其中k∈R．

（1）设函数p（x）＝f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；

（2）设函数q（x）是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．

【再练一题】

已知函数f（x）alnx．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若a＞0，函数f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．

思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法．

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．

基础知识训练

1．下列函数中，能用二分法求零点的是（）

A． B．

C． D．

2．方程的根所在的区间为

A． B． C． D．

3．函数的零点所在的一个区间是

A． B． C． D．

4．已知函数若方程有5个解，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

5．已知函数满足，当时，；当时，，若函数上有五个零点，则的最小值为（）

A． B． C． D．

6．已知分别是方程的实数解，则（）

A． B．

C． D．

7．已知实数满足，则函数的零点在下列哪个区间内

A． B． C． D．

8．已知定义在