专题76 不等式选讲（解析版）.docVIP

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题76不等式选讲

必威体育精装版考纲

1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b∈R)．

2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.

3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.

基础知识融会贯通

1．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集

不等式

a0

a＝0

a0

|x|a

(－a，a)

?

?

|x|a

(－∞，－a)∪(a，＋∞)

(－∞，0)∪(0，＋∞)

R

(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

2．含有绝对值的不等式的性质

(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

3．不等式证明的方法

(1)比较法

①作差比较法

知道ab?a－b0，ab?a－b0，因此要证明ab，只要证明a－b0即可，这种方法称为作差比较法．

②作商比较法

由ab0?eq\f(a,b)1且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明eq\f(a,b)1即可，这种方法称为作商比较法．

(2)综合法

从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法．

(3)分析法

从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．

重点难点突破

【题型一】绝对值不等式的解法

【典型例题】

已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+a|，g（x）＝x+2．

（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（2）设，且当，求a的取值范围．

【解答】解：（1）当a＝﹣1时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|x﹣1|﹣x﹣2＜0，

（i）当x时，不等式化为﹣（2x﹣1）﹣（x﹣1）﹣x﹣2＜0，解得0＜x．

（ii）当x≤1时，不等式化为2x﹣1﹣（x﹣1）﹣x﹣2＜0，解得x≤1，

（iii）当x＞1时，不等式化为2x﹣1+x﹣1﹣x﹣2＜0，解得1＜x＜2

综上，原不等式的解集为（0，2）．

（2）由﹣a≤x，得﹣2a≤2x＜1，﹣2a﹣1≤2x﹣1＜0，

又0≤x+aa，

则f（x）＝﹣（2x﹣1）+x+a＝﹣x+a+1，

∴不等式f（x）≤g（x）化为﹣x+a+1≤x+2，

得a≤2x+1对x∈[﹣a，）都成立，

故a≤﹣2a+1，即a，

又a，故a的取值范围是（，]．

【再练一题】

求不等式4﹣2|x+2|≤|x﹣1|的解集．

【解答】解：①当x≤﹣2时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x，此时x；

②当﹣2＜x＜1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x＜1；

③当x≥1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤x﹣1，解得x，此时x≥1．

综上，原不等式的解集为（﹣∞，]∪[﹣1，+∞）．

思维升华解绝对值不等式的基本方法

(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．

(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．

(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．

【题型二】利用绝对值不等式求最值

【典型例题】

已知函数f（x）＝|x+1|，g（x）＝2|x|+a．

（1）当a＝﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；

（2）若存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）a＝﹣1时，由f（x）≤g（x）得，|x+1|≤2|x|﹣1；

x≤﹣1时，﹣x﹣1≤﹣2x﹣1，解得：x≤﹣1；

﹣1＜x≤0时，x+1≤﹣2x﹣1，解得：﹣1＜x；

x＞0时，x+1≤2x﹣1，解得：x≥2；

∴不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x，或x≥2}；

（2）存在x0∈R，