专题63 随机事件的概率 （解析版）.docVIP

专题63随机事件的概率

必威体育精装版考纲

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．

2.了解两个互斥事件的概率加法公式.

基础知识融会贯通

1．概率和频率

(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．

2．事件的关系与运算

定义

符号表示

包含关系

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)

B?A(或A?B)

相等关系

若B?A且A?B

A＝B

并事件(和事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)

A∪B(或A＋B)

交事件(积事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

A∩B(或AB)

互斥事件

若A∩B为不可能事件(A∩B＝?)，则称事件A与事件B互斥

A∩B＝?

对立事件

若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件

A∩B＝?，

P(A)＋P(B)＝1

3.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率P(E)＝1.

(3)不可能事件的概率P(F)＝0.

(4)概率的加法公式

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．

【知识拓展】

互斥事件与对立事件的区别与联系

互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．

重点难点突破

【题型一】事件关系的判断

【典型例题】

从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A，则A的对立事件是（）

A．至多有一件次品 B．两件全是正品

C．两件全是次品 D．至多有一件正品

【解答】解：从四件正品、两件次品中随机取出两件，

记“至少有一件次品”为事件A，

则A的对立事件是两件全是正品．

故选：B．

【再练一题】

从装有红球和绿球的口袋内任取2个球（已知口袋中的红球、绿球数都大于2），那么互斥而不对立的两个事件是（）

A．至少有一个是红球，至少有一个是绿球

B．恰有一个红球，恰有两个绿球

C．至少有一个红球，都是红球

D．至少有一个红球，都是绿球

【解答】解：从装有红球和绿球的口袋内任取2个球（已知口袋中的红球、绿球数都大于2），

选项A，C中两事件可以同时发生，故不是互斥事件；

选项B中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；

选项D中的两事件是对立事件．

故选：B．

思维升华(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念

①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．

②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．

(2)判断互斥、对立事件的方法

判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

【题型二】随机事件的频率与概率

【典型例题】

事件分为必然事件、随机事件和不可能事件，其中随机事件A发生的概率的范围是（）

A．P（A）＞0 B．P（A）＜1 C．0＜P（A）＜1 D．0≤P（A）≤1

【解答】解：事件分为必然事件、随机事件和不可能事件，

由随机事件的性质得：

必然事件A发生的概率是P（A）＝1，

不可能事件A发生的概率是P（A）＝0，

随机事件A发生的概率的范围是：0＜P（A）＜1．

故选：C．

【再练一题】

将三颗骰子各掷一次，设事件A＝“三个点数互不相同”，B＝“至多出现一个奇数”，则概率P（A∩B）等于（）

A． B． C． D．

【解答】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A＝“三个点数互不相同”，B＝“至多出现一个奇数”，

基本事件总数n＝6×6×6＝216，

A∩B包含的基本事件个数m60，

∴概率P（A∩B）．

故选：C．

思维升华(1)概率与频率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．

(2)随机事件概率的