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专题63随机事件的概率
必威体育精装版考纲
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义及频率与概率的区别.
2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
基础知识融会贯通
1.概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=eq\f(nA,n)为事件A出现的频率.
(2)对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小,并把这个常数称为随机事件A的概率,记作P(A).
2.事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等关系
若B?A且A?B
A=B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A+B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件(A∩B=?),则称事件A与事件B互斥
A∩B=?
对立事件
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B=?,
P(A)+P(B)=1
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)=1.
(3)不可能事件的概率P(F)=0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=1-P(B).
【知识拓展】
互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.
重点难点突破
【题型一】事件关系的判断
【典型例题】
从四件正品、两件次品中随机取出两件,记“至少有一件次品”为事件A,则A的对立事件是()
A.至多有一件次品 B.两件全是正品
C.两件全是次品 D.至多有一件正品
【解答】解:从四件正品、两件次品中随机取出两件,
记“至少有一件次品”为事件A,
则A的对立事件是两件全是正品.
故选:B.
【再练一题】
从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2),那么互斥而不对立的两个事件是()
A.至少有一个是红球,至少有一个是绿球
B.恰有一个红球,恰有两个绿球
C.至少有一个红球,都是红球
D.至少有一个红球,都是绿球
【解答】解:从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2),
选项A,C中两事件可以同时发生,故不是互斥事件;
选项B中两事件不可能同时发生,因此是互斥的,但两事件不对立;
选项D中的两事件是对立事件.
故选:B.
思维升华(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念
①互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同时不发生.
②对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.
(2)判断互斥、对立事件的方法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.
【题型二】随机事件的频率与概率
【典型例题】
事件分为必然事件、随机事件和不可能事件,其中随机事件A发生的概率的范围是()
A.P(A)>0 B.P(A)<1 C.0<P(A)<1 D.0≤P(A)≤1
【解答】解:事件分为必然事件、随机事件和不可能事件,
由随机事件的性质得:
必然事件A发生的概率是P(A)=1,
不可能事件A发生的概率是P(A)=0,
随机事件A发生的概率的范围是:0<P(A)<1.
故选:C.
【再练一题】
将三颗骰子各掷一次,设事件A=“三个点数互不相同”,B=“至多出现一个奇数”,则概率P(A∩B)等于()
A. B. C. D.
【解答】解:将三颗骰子各掷一次,设事件A=“三个点数互不相同”,B=“至多出现一个奇数”,
基本事件总数n=6×6×6=216,
A∩B包含的基本事件个数m60,
∴概率P(A∩B).
故选:C.
思维升华(1)概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值.
(2)随机事件概率的
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