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【电磁学】高斯定理

在高中物竞以及高考物理中经常出现高斯定理（高考物理中一

般可以用对称法，填补法等等解出），建议阅读时间：7分钟

一、高斯定理简介

高斯定理（Gausslaw）也称为高斯通量理论（Gaussflux

theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特

罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯

定理都是指该定理，也有其它同名定理）。

在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该

闭合曲面上的电通量积分之间的关系。高斯定律（Gauss

law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关

系。高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定

律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。因为数学上的相似

性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，

例如引力或者辐照度。

在麦克斯韦方程组中也有

麦克斯韦方程组

对麦克斯韦方程组有兴趣的同学可以看看这篇文章，不过以后

我也会讲的

给一个百度百科的解释[1]

好，我们开始了

二、电场线

电场线密度：经过电场中任一点，作一面积元dS并使它与该

点的场强垂直，若通过dS面的电场线条数为dN,则电场线

密度为E=\frac{dN}{dS}

可见，电场线密集处电场强度大，电场线稀疏处电场强度小

电场强度通量：在电场中穿过任意曲面的电场线的总条数称为

穿过该面的电通量，用\phi_{c}表示.

匀强电场：\phi_{e}=EScos\theta;非匀强电场：

d\phi_{e}=EdS\Rightarrow\phi_{e}=\int_{S}^{}E·dS

（哈哈，打不来矢量，看着有点恼火）

3.电通量的正负

在电磁学中是这样规定:1.对于不闭合的曲面(平面)S,可以任

意选取电场线穿进S产生的电通量为正或为负，也就是说完全

取决于dS与E的夹角.

\theta\frac{π}{2}时，\phi_{e}0；

\theta\frac{π}{2}时，\phi_{e}02.对于闭合的曲面(如

球面),规定选取电场线穿出时的电通量为正.

\phi_{e}=\iint_{S}EdS

三、高斯定理内容

穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的du电荷量成正

比。换一种说法就是，电场强度在一封闭曲面上的面积分与封

闭曲面所包围的电荷量成正比。由于磁力线总是闭合曲线，

因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出

来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。

如果对于封闭曲面，定义了向外法线方向，进入曲面的磁通量

为负，出来的磁通量为正，那么通过封闭曲面的总磁通量可以

为零。这个定律类似于电场中的高斯定理，所以也叫高斯定

理。

公式不太会打QAQ，放图片好了

\ointEdS=4πkQ

下面的我懒得推了，记住吧QAQ

0维：E=\frac{kQ}{r^{2}}

1维：E=\frac{2kλ}{r}（λ为电荷线密度）

2维：E=2πk\delta（\delta为电荷面密度）

3维：E=\frac{4}{3}πkρr（ρ为电荷面密度）

高斯定理是斯托克斯定理的特殊情况[2]

（这里是我后面补充的）

\int_{V}\varphi_{,i}dV=\int_{S}\varphin_{,i}dS，式

中，V表示空间的某一区域，S是这一区域的表面，n=ni

ei是S的外法线单位矢量,φ是V中具有连续偏导的场函

数。

四、高斯定理的应用

高斯定理是反映静电场性质(有源性)的一条基本定理；高斯定

理是在库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围比库仑定律

更广泛

当场强分布具有某种特殊的对称性时，应用高斯定理能比较方

便求出场强。求解的关键是选取适当的高斯面（高斯面就是高

斯定理中所说的闭合曲面）。常见的具有对称性分布的源电荷

有:

1.球对称分布:包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳

等；

2.轴对称分布:包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳

等;

3.无限大平面电荷:包括无限大的均匀带电平面，平板等。

最后说一下，通过任意闭合曲面的总通量只取决于面内电荷的

代数和，而与面外电荷无关，也与电荷如何分布无关，但电荷

的空间分布会影响闭合面上各点处的场强大小和方向;高斯定

理中的电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产生的，并

非只有曲面内的电荷确定。

水