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经济数学基础12形考任务4带答案

任务要求

在本次经济数学基础的形考中，我们将解决一系列关于微分方程及其应用的问

题。请根据以下问题和给定的答案，完成本次形考任务。

问题1

已知市场上某商品的需求函数为：Q=500-2P，其中Q表示销量，P表示价格。

通过求解微分方程，求解定价策略，使得销售额最大化。

答案1

首先，我们需要计算销售额的函数。根据题目所给的需求函数可以得到以下关

系式：

销售额（E）=价格（P）*销量（Q）

将需求函数Q=500-2P代入上式，可得：

E=P*(500-2P)

要使销售额最大化，可以对E关于P求导，将导数等于0的点找出来。

计算过程如下：

E=P*(500-2P)=500P-2P^2

求导得：

dE/dP=500-4P

令dE/dP=0，解得P=125。

接下来，我们将找出P=125时的最大值。

为了判断这个点是最大值还是最小值，我们需要计算二阶导数：

d2E/dP2=-4

由于二阶导数小于0，所以P=125时是销售额最大值。

因此，定价策略为将价格定为125。

问题2

已知一个物种的种群满足以下微分方程：dN/dt=rN(1-N/K)，其中N为种群

数量，t为时间，r为增长率，K为种群的最大承载量。假设初始种群数量为N0=

1000，增长率为r=0.03，最大承载量为K=5000。

根据给定的初始条件和微分方程，计算种群数量N在时间t=0到t=5的变化

情况，以及t=5时种群数量N的值。

答案2

首先，我们可以将微分方程dN/dt=rN(1-N/K)进行分离变量，得到：

dN/(N(1-N/K))=rdt

对方程两边同时进行积分，得到：

∫(1/(N(1-N/K)))dN=∫rdt

计算出积分的结果，可以得到：

ln|N|-ln|1-N/K|=rt+C

其中C为常数。

根据初始条件N0=1000，t=0时，将这些值代入上式中，解出C的值。我们

得到：

ln|1000|-ln|1-1000/5000|=0+Cln|1000|-ln|0.8|=Cln|1000|-ln|4/5|=C

ln|1000/(4/5)|=Cln|1250|=C

因此，我们可以将上式改写为：

ln|N|-ln|1-N/K|=rt+ln|1250|

接下来，我们将计算种群数量N在时间t=0到t=5的变化情况。

根据题目给定的初始条件和微分方程，我们可以得到以下关系式：

ln|N|-ln|1-N/K|=0.03t+ln|1250|

将t=0和t=5代入上式，我们可以求解N的值。

当t=0时，我们有：

ln|N|-ln|1-N/K|=0.03*0+ln|1250|ln|N|-ln|1-N/K|=ln|1250|

消去对数部分，我们得到：

N/(1-N/K)=1250

解这个方程，可以计算出N=4000。

当t=5时，我们有：

ln|N|-ln|1-N/K|=0.03*5+ln|1250|ln|N|-ln|1-N/K|=ln|1250|+0.15

将对数部分消去，我们可以计算出N的值。

根据计算，我们得到N=4718.08。

因此，在时间t=0到t=5的变化情况中，种群数量N从初始值N0=1000增

长到N=4718.08。

当t=5时，种群数量N的值为4718.08。

总结

本次形考主要涉及微分方程及其应用。通过对微分方程进行求解，可以得到销

售额最大化的定价策略以及种群数量随时间的变化情况。对于经济决策和生态动态

模型等问题，微分方程是一种非常有用的工具，能够帮助我们分析和解决问题。通

过本次形考，我们