专题40 空间向量及其应用解析版-2025版高中数学一轮复习讲义，知识梳理、考点突破和分层检测.pdfVIP

专题40空间向量及其应用（新高考专用）

目录

【知识梳理】2

【真题自测】4

【考点突破】9

【考点1】空间向量的运算及共线、共面定理9

【考点2】空间向量的数量积及其应用17

【考点3】利用空间向量证明平行与垂直25

【分层检测】35

【基础篇】35

【能力篇】46

【培优篇】52

考试要求：

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐

标表示.

1

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

4.理解直线的方向向量及平面的法向量.

5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.

6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

知识梳理

1.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重

(或平行向量)合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝

λb.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存

(xy)pxayb.

在唯一的有序实数对，，使＝＋

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一

{xyz}pxaybzc{abc}.

的有序实数组，，，使得＝＋＋，其中，，，叫做空间的一个基底

3.空间向量的数量积

→→

OAOB

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB

π

叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂

2

直，记作a⊥b.

(2)ab|a||b|cosababa·b

两向量的数量积：已知两个非零向量，，则〈，〉叫做，的数量积，记作，

即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

(3)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

a·bb·a

②交换律：＝；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

2

4.空间向量的坐标表示及其应用

a(aaa)b(bbb).

设＝，，，＝，