专题41 向量法求空间角解析版-2025版高中数学一轮复习讲义，知识梳理、考点突破和分层检测.pdfVIP

专题41向量法求空间角（新高考专用）

目录

【知识梳理】2

【真题自测】3

【考点突破】11

【考点1】异面直线所成的角11

【考点2】直线与平面所成的角19

【考点3】平面与平面的夹角30

【分层检测】42

【基础篇】42

【能力篇】57

【培优篇】63

考试要求：

1.掌握空间向量的应用.

2.会用空间向量求空间角和距离.

1

知识梳理

1.两条异面直线所成的角

设异面直线l，l所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，

12

u·v

|||u·v|

则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝|u||v|＝.

|u||v|

2.直线和平面所成的角

ABαBABαθABuα

直线与平面相交于，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面

u·n

|||u·n|

的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝|u||n|＝.

|u||n|

3.平面与平面的夹角

(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°

αβ.

的二面角称为平面与平面的夹角

(2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n，n，平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ

12

n·n

12

|n·n|

＝|cos〈n，n〉|＝||n||n||＝12.

1212

|n||n|

12

4.Pl

点到直线的距离

→→→

APAPAQ

设＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ

→→

2222

|AP||AQ|

－

aa·u

中，由勾股定理，得PQ＝＝－（）.

5.点P到平面α的距离