2024高中数学 143正切函数的性质与图象教案 新人教A版必修4.docVIP

正切函数的性质与图像

一教材分析：

《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展，是对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫。

一般说来，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述但对正切函数，教材先根据已有的知识（正切函数定义诱导公式正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的体现得更加全面在此也向学生进一步说明华罗庚先生的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数学的美无处不在，数学无处不美。

为了让学生能更加直观形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用《几何画板》自制课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

二教学目标

（一）知识与技能目标：

1在对正切函数已有认知的基础上，理解正切函数的性质。

2通过已知的性质，利用正切线，得到正切曲线。

3根据正切曲线，完善正切函数的性质。

（二）过程与方法目标：

???在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题提出问题解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯

（三）情感态度价值观目标

?在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成

三教学重点

利用正切函数已有的知识（如定义诱导公式正切线等）研究性质

四教学难点

正切函数的单调性和值域

五学法与教法

学生已基本掌握正切函数的定义诱导公式等知识；基本掌握了从代数角度研究函数单调性奇偶性周期性的方法但是由于该课涉及到的知识内容较多，特别是涉及到正切线时，学生会感到困难我班学生有扎实的知识基础，学习的主动性和积极性也较高，已基本形成自主学习的习惯和能力有合作学习的经验和氛围因此学生学法为合作交流，教法为探究与发现式。

六教学过程及学生活动

（一）创设情境做好铺垫

一般来说，对函数性质的研究可以先作图象，通过观察图象获得对性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格证明。如前面我们学习的正弦函数，余弦函数但对于正切函数性质咱们换一新视角来研究，先研究性质，再根据性质研究图象。下面借助研究正弦函数，余弦函数的图象和性质的经验，根据诱导公式和正切线对正切函数的性质进行研究。

设计说明：主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面

（二）利用旧知研究性质

活动一：我们对正切函数也已经有了初步的了解，譬如：正切线，与正切有关的诱导公式等，就已有的知识，请尝试用代数方法研究正切函数的性质

设计说明：利用已有的认知结构，探究未知的问题

提问1：类比我们已经学习的正弦函数余弦函数的图像与性质，我们可以从哪些方面研究正切函数的性质？

设计说明：类比，是研究问题最重要的方法之一

1定义域：

2奇偶性：奇函数??

【提醒先检验定义域是否关于原点对称】??

3正切函数是不是周期函数？

【引导学生用正切线来检验，教师用几何画板演示】

设计说明：为后面研究单调性，值域提供了方法。

4单调性：小组讨论，让学生大胆猜想，小心求证。老师点评引导

5值域：

活动二：当学生用代数方法遇到困惑时提醒学生尝试用正切线研究正切函数的单调性和值域

4单调性

小组讨论，老师引导如何选择一个范围研究单调性

问题：观察正切线的变化为什么教材是从第四象限到第一象限？而不是习惯从第一象限到第四象限？

5值域

由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于且无限接近时,正切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸因此,tanx在(,)内可以取任意实数,但没有最大值最小值

因此,正切函数的值域是实数集R

教师用几何画板演示

（三）利用性质动手作图

我们要想更全面认识函数性质，我们还需作出函数图象

活动三：我们已知了正切函数的部分性质，如何利用已有的性质画出正切函数的图像？

设计说明：利用已知的性质，如何画函数的图像

由于正切函数的是最小正周期是的周期函数，所以我们只需要画出他在一个周期内的图像，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图像。

追问1：为什么先画的图象？

追问2：直线与图象的位置关系怎样？

可以选择区间；而正切函数又是奇函数，所以只需画出在的图像。

?

?

，且的图象，称“正切曲线”。

追问3：只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(,)的简图？

学生可看