高二数学选修2－1 第一章 常用逻辑用语人教实验B版（理）知识精讲.doc

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高二数学选修2－1第一章常用逻辑用语人教实验B版（理）

【本讲教育信息】

一、教学内容：

常用逻辑用语

二、教学目标：

1.了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；反证法在证明过程中的应用.

2.掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系.

三、知识要点分析：

1.命题：可以判断真假的语句叫做命题.

2.简单命题和复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题.简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题.由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。

3.量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，含有全称量词的命题，叫做全称命题。

存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所陈述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

4.逻辑联结词：“或”、“且”、“非”，这些词叫做逻辑联结词.

5.真值表：

p

q

┐p

p∨q

p∧q

真

真

假

真

真

真

假

真

假

假

真

真

真

假

假

假

假

假

为了正确判断复合命题的真假，首先应确定复合命题的形式，然后指出其中简单命题的真假，再根据真值表判断这个复合命题的真假。

6.四种命题的形式：

如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。

一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。

一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题.把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的逆否命题.

原命题：若p则q；

逆命题：若q则p；

否命题：若则；

逆否命题：若则.

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：

①原命题为真，它的逆命题不一定为真；

②原命题为真，它的否命题不一定为真；

③原命题为真，它的逆否命题一定为真；

④原命题的逆命题为真，原命题的否命题一定为真.

7.反证法：是从要证明的结论的反面出发，推出一个矛盾的结果，从而得到原结论成立的证明方法。有些问题直接证明时条件很少或无法从正面得到结论，但用反证法较易。

用反证法证题的步骤是：

（1）假设命题的结论不成立，即假设命题的反面成立。

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知或学过的定理、公理等相矛盾的结论。

（3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立。

常见情况的反设：

原结论

是（一定是）

都是（全是）

（）

至少有一个

至多

有一个

＝

存在

反设

不是（一定不是）

不都是

≤（≥）

一个也没有

（都不是）

至少

有2个

≠

不存在

反设就相当于添加了一个已知条件，因此更便于推理论证。

8.要注意区别“否命题”与“命题的否定”：若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

9.一般地，如果已知，那么我们就说是成立的充分条件；q是p成立的必要条件；如果既有，又有qp，那么我们就说是成立的充分必要条件。

10.给定两个命题p、q，可以考虑集合A=｛x︱x满足p｝，B=｛x︱x满足q｝，则有

（1）若AB，则p是q的充分条件。

（2）若AB，则p是q的必要条件。

（3）若A=B，则p是q的充要条件。记住：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。

【典型例题】

例1.“已知、、、是实数，若，，则”写出上述命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假.

点拨：“已知，，，是实数”是大前提，写这四种命题时应该保留.这里原命题的条件是“，都分别大于，”，结论是“”.

解：原命题可以写成：已知，，，是实数，若，都分别大于，，则.原命题为真.

逆命题：已知，，，是实数，若，则，都分别大于，逆命题为假，可举一反例说明：如8＋3＞4＋4，但8＞4，3＜4.

否命题：已知，，，是实数，若，不都分别大于，，则否命题为假.

逆否命题：已知，，，是实数，，则，不都分别大于，逆否命题为真.

例2.指出下列各组命题中，是的什么条件（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种）。

（1）：四边形对角线互相平分；：四边形是矩形。

（2）：；：抛物线过原点。

（3）：；：。

（4）：方程有一根为1；：。

（5）：；：方