2024高中数学 13利用导数解决不等式问题教学设计 新人教A版选修21.docVIP

利用导数解决不等式问题教学设计

【学习目标】

知识技能1会利用导数作为工具证明不等式;

2能够构造函数,结合放缩和函数的单调性最值达到证明目的

过程方法：(1)在“分析实验讨论总结”的探究过程中,发展学生自主学习能力；

(2)强化数形结合思想

情感态度：(1)培养学生的探究精神；

(2)体验动手操作带来的成功感

【教学重点难点】

1灵活准确的构造函数

2利用可导函数解决不等式证明；

【学情分析】

导数之难,难在对函数单调性的认识并且导数工具的运用,充分体现了“数形结合思想”问题研究的核心就是“函数的单调性”结合本节试题的结构和内容分析，结合着高三年级学生他们的认知结构及其心理特征，归纳总结做题规律，使学生明确做题的方向。我们都知道数学是一门培养人的逻辑思维能力的重要学科。因此，在教学过程中，不仅要使学生“知其然”，还要使学生“知其所以然”。我们在以师生既为主体，又为客体的原则下，展现获取理论知识解决实际问题方法的思维过程。

考虑到我校高三年级学生的现状，我主要采取引导加点拨的教学方法，让学生真正的参与教学中去，而且在课堂活动中得到新的认识和体验，产生践行的愿望。

当然教师自身也是非常重要的教学资源。教师本人应该通过课堂教学感染和激励学生，充分调动起学生参与活动的积极性，激发学生对解决难题问题的渴望，并且要培养学生以理论联系实际的能力，从而达到最佳的教学效果。同时也体现了课改的精神。

【教学过程】

一课前思考：（引入课题）

利用导数能解决哪些问题？

复习上节课证明含对数和指数的不等式的两种常用方法：

作差法构造函数证明

如：（1）

（2）

由（2）思考证明含幂函数和指数函数的不等式常用的策略是什么？

换元法构造函数证明

如：（2024年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式都成立

设计意图：利用提出问题吸引学生，由抽签法进行幸运抽奖活动，激发学习兴趣，达到调动学生积极性的目的若学生能说出导数除了能解决单调性和最值问题，还能解决不等式问题，则追问利用导数证明不等式常用的方法是啥；若学生不清楚，则用简单的例子引导他们，对于复杂一点的不等式问题又如何下手呢？从而引入授课内容

二观察分析，初步探究

例1若函数y=在R上可导且满足不等式x恒成立，且常数a，b满足ab，求证：ab

【解】由已知x+0∴构造函数，

则x+0，从而在R上为增函数。

∴即ab

变式:1定义在上的奇函数满足：时，，令，则的解集为；

如果满足呢？

2已知定义域为R的函数满足：，

则的解集为

3定义在上的函数满足：恒成立，则（）

ABC D

【警示启迪】由条件移项后，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数，求导即可完成证明。若题目中的条件改为，则移项后，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。

反思总结：从条件特征入手构造函数证明不等式，思路为：见和构积，见差构商

设计意图：二轮复习重在总结中提炼解题方法，让学生反复观察一类题目的式子结构特征，来感受如何恰当的构造函数，一方面让学生自己慢慢体会导数及法则的正用逆用变形用，从而培养学生的逆向思维能力，使学生能从抽象函数问题中解放出来。另一方面体现数学直观这一重要的思想方法对数学学习的意义和作用

三启迪思维，深入探究

例2（只探究第三问）

设函数（1）时，求在处的切线方程；（2）时，讨论函数的单调性；（3）时，求证：

变式练习1设函数，若（其中且，问：函数在处的切线能否平行于轴，若能，求出切线方程；若不能请说明理由。

变式练习2设函数，若存在两个实数满足，，求证：

反思总结：观察式子的结构特征，换元法由两个元变成一个元，从而构造新函数，达到证明不等式的目的。

设计意图：通过归类总结，让学生明白看似负责的问题，化简后其实是同一个题目，设计了不同的问法而已，走出做题阴影，打开做题思路，不要先被题目吓住。

例3函数，其中（Ⅰ）试讨论函数的单调性；（Ⅱ）已知当（其中是自然对数的底数）时，在上至少存在一点，使成立，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：当时，对任意，，有

备注：当

变式练习：设函数(Ⅰ)当时，求函数的极值；

(Ⅱ)当时，讨论函数的单调性；(Ⅲ)对任意，且，有恒成立，求的取值范围

反思总结：对于以上类型的题目，绝大部分的学生都会望而生畏学生的盲点也主要就在对所给函数用不上如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，或借助单调性求出函数的最值，以期达到证明不等式的目的。

设计意图:学生对含一个元的函数构造已经比较清晰，但是对于含有两个元