2024高中数学 21平面向量的背景及基本概念学案 新人教A版必修4.docVIP

2024高中数学21平面向量的背景及基本概念学案新人教A版必修4

学习目标：1能结合物理中的力位移速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别

2会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量

3理解零向量单位向量平行向量共线向量相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念

学习重点：向量的相关概念

学习难点：向量的相关概念

一知识导学

1向量：既有，又有的量叫做向量

2向量的几何表示：以A为起点B为终点的有向线段记作____

3向量的有关概念：

(1)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作

(2)单位向量：长度等于个单位的向量，叫做单位向量

(3)相等向量：且的向量叫做相等向量

(4)平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量

①记法：向量a平行于b，记作②规定：零向量与平行

二探究与发现

【探究点一】向量的概念和几何表示

(1)我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量而把那些只有大小，没有方向的量称为数量

例如，已知下列各量：

①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度

其中是数量的有，是向量的有

向量的模是非负数，可以比较大小，向量不能比较大小

2)带有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段来表示有向线段eq\o(AB,\s\up16(→))的长度就是向量eq\o(AB,\s\up16(→))的长度(简称模)，记作|eq\o(AB,\s\up16(→))|；有向线段eq\o(AB,\s\up16(→))箭头表示向量eq\o(AB,\s\up16(→))的方向

假设图中每个格子是边长为1cm，比例

尺为1∶100，请求出下列各向量的模

|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝，|eq\o(CD,\s\up16(→))|＝，|eq\o(EF,\s\up16(→))|＝，|eq\o(GH,\s\up16(→))|＝，|a|＝

【探究点二】几个向量概念的理解

(1)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的

(2)单位向量：长度(或模)为1的向量叫做单位向量

(3)相等向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量若向量a与b相等，记作a＝b

例如：下列说法中正确的是________

①3牛顿的力一定大于2牛顿的力；②长度相等的向量叫作相等向量；

③一个向量的相等向量有无数多个；④若|a|＝|b|，则a＝b或a＝b；

⑤单位向量都大于零向量

【探究点三】平行向量与共线向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量向量ab平行，通常记作a∥b规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a

abc是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c

由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行共线与平面几何中的直线线段的平行和共线相混淆

练一练，如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，

(1)写出与eq\o(BC,\s\up16(→))相等的向量：________

(2)写出与eq\o(BC,\s\up16(→))共线的向量：________

【典型例题】

例1判断下列命题是否正确，并说明理由

①若a≠b，则a一定不与b共线；②若eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，则ABCD四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))；④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c

跟踪训练1判断下列命题是否正确，并说明理由

(1)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab；

(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反

例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了