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平面对量基础知识

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，留意向量和数量的区分。

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，留意零向量的方向是随意的；

3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；

4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量,叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提示：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；

6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，留意起点在前，终点在后；

2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴,轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。假如向量的起点在原点，则向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面对量的基本定理：假如e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，则对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数,，使a=e1＋e2。

如：若，则______

四．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，留意：≠0。

五．平面对量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，

称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。

2．平面对量的数量积：假如两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，留意数量积是一个实数，不再是一个向量。

如：△ABC中，，，，则_________

3．在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。

如：已知，，且，则向量在向量上的投影为______

4．的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。

5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：

①；②当，同向时，＝，特殊地，；当与反向时，＝－；

③非零向量，夹角的计算公式：；④。

六．向量的运算：

1．几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，则向量叫做与的和，即；

②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。留意：此处减向量与被减向量的起点相同。

如化简：①___；②____；③_____

2．坐标运算：设，则：

①向量的加减法运算：，。

如：已知，，则

②实数与向量的积：。

③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

如：设，且，，则C,D的坐标分别是__________

④平面对量数量积：。⑤向量的模：。

七．向量的运算律：

1．交换律：，，；

2．结合律：，；

3．安排律：，。

八．向量平行(共线)的充要条件：＝0。

如：设，则k＝_____时，A,B,C共线

九．向量垂直的充要条件：.

平面对量单元练习

1．设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（）

A．a与a的方向相反B．|-a|=||·a

C．a与2a的方向相同D．|-a|≥|a|

2,下面给出的关系式中正确的个数是（）

ABCD①②③④⑤

A

B

C

D

A.0B.1C.2D.3

3,如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）

A.＝B.＋＝C.－＝D.＋＝

4,若，,则（）

A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7）D．（-3,-7）

5,已知向量，．若向量满意，，则（）

A．B．C．D．

6,是的边上的中点，则向量（）

A.B.C.D.

7,设，，且，则锐角为（）

A．B．C．D．

8,已知，其中。若，则tanx的值等于（）

A．1 B．-1 C． D．

9,一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（）

A.6B.2C.D.

10,已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（）

A.重心外心垂心B.重心外心内