专题06 倍长中线法与截长补短法构造全等三形（两大类型）（解析版）.pdfVIP

专题06倍长中线法与截长补短法构造全等三形（两大类型）

重难点题型归纳

【题型一：倍长中线法构造全等三角形】

【题型二：截长补短法构造全等三角形】

【题型一：倍长中线法构造全等三角形】

△ABC中,AD是BC边中线

A

BC

D

方式1：直接倍长延长AD到E，使DE=AD，连BE

A

BC

D

E

方式2：间接倍长

（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E（2）延长MD到N，使DN=MD，连CN

AA

F

M

BDCD

BC

E

N

倍长中线法原理：

延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相

延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连

相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。此法常用于构造全等三角形，利用

中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS”证明对应边之间的关系。

（在一定范围中）

【典例1】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽

在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD

到M，使DM＝AD，连接BM．

【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是AC＝BM，位置关

系是AC∥BM；

【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上

的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等

号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．）

【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥

AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF

与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．

【答案】（1）AC＝BM，AC∥BM；

（2）2＜AD＜10；

（3）EF＝2AD，EF⊥AD，理由见解析．

【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在△ADC和△MDB中，

，

∴△ADC≌△MDB（SAS），

∴AC＝BM，∠CAD＝∠M，

∴AC∥BM，

故答案为：AC＝BM，AC∥BM；

（2）如图2，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，

由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS），

∴BM＝AC＝8，

在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，

∴12﹣8＜AM＜12+8，

即4＜2AD＜20，

∴2＜AD＜10，

即BC边上的中线AD的取值范围为2＜AD＜10；

（3）EF＝2AD，EF⊥AD，理由如下：

如图3，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，

由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），

∴BM＝AC，

∵AC＝AF，

∴BM＝AF，

由（2