专题06 半角模型综合应用（专项训练）（解析版）.pdfVIP

专题06半角模型综合应用（专项训练）

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，M、N是斜边AB上的两点，且∠MCN＝

45°，AM＝3，BN＝5，则MN＝．

【答案】

【解答】解：将△CBN逆时针旋转90度，得到三角形ACR，连接RM

则△CRA≌△CNB全等，△RAM是直角三角形

∴AR＝BN＝5，

∴MN＝RM＝＝

故答案是：

2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝15，点M、N在边BC

上，且∠MAN＝45°，CN＝5，MN＝．

【答案】13

【解答】解：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝15，

∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AB＝30，

把△ACN绕点A顺时针旋转90°得到△ABD，连接MD，如图所示：

则∠ABD＝∠C＝45°，BD＝CN＝5，∠DAN＝90°，AD＝AN，

∴∠DBM＝45°+45°＝90°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠MAD＝90°﹣45°＝45°，

∴∠MAD＝∠MAN，

在△AMD和△AMN中，，

∴△AMD≌△AMN（SAS），

∴MD＝MN，

设MD＝MN＝x，

则BM＝BC﹣MN﹣CN＝25﹣x，

222

在Rt△DBM中，由勾股定理得：BD+BM＝MD，

222

即5+（25﹣x）＝x，解得：x＝13，

∴MN＝13；

故答案为：13．

3．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E是BC边上的任意两点，且

∠DAE＝45°．

（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图（1）中画出△ACF．

（2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，

并说明理由．

（3）如图2，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BM+DN＝MN，试求

∠MAN的大小．

【解答】解：（1）完成图形，

（2）连接EF，

由旋转可知，AF＝AD，CF＝BD，∠DAF＝90°，

∵∠DAE＝45°，

∴∠DAE＝∠FAE＝45°，

在△DAE和△FAE中，

，

∴△DAE≌△FAE（SAS），

∴EF＝DE，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠ACF＝45°，

∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°，

222

∴EF＝EC+FC，

222

∴DE＝EC+BD；

（3）将△ADN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：

由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠D＝90°，

∴E，B，M三点共线，

∵BM+DN＝MN，

∴ME＝MN，

在△AEM和△ANM中，

，

∴△AEM≌△ANM（SSS），

∴∠MAE＝∠MAN＝45°．

4．（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，延

长CD到点C，使DG＝BE，连接EF、AG，求证：EF＝FG；

（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在边BC上，且∠MAN＝