专题06 半角模型巩固练习（基础）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.pdfVIP

半角模型巩固练习（基础）

1.在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90º，O为AB的中点，∠EOF＝45º，交CA于F，交BC的延

长线于E.

（1）求证：EF＝CE＋AF；

（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并

明.

【解答】（1）见解析；（2）AF－EF＝CE.

【解析】（1）连接CO，过点O作OG⊥OF交BE于点G，如图所示：

由题意可得△AOF≌△COG，∴OF＝OG，∴△EOF≌△EOG，∴EF＝EG，

∴EF＝EG＝EC＋CG＝EC＋AF；

（2）AF－EF＝CE.

2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝

∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.

【解答】见解析

【解析】如图，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合.

∵旋转，∴△ADF≌△ABG，∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，DF＝GB，

∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠EAG，

又∵AE＝AE，∴△EAG≌△EAF，∴GE＝EF，

∵GE＝GB＋BE＝DF＋BE，∴EF＝BE＋FD.

3.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120º，以D为顶点作一个60º

的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，则△AMN的周长是多少？

【解答】6

【解析】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120º，∴∠BCD＝∠DBC＝30º，

∵△ABC是边长为3的等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60º，∠DBA＝∠DCA＝90º，

如图，延长AB至点F，使BF＝CN.

连接DF，在△BDF与△CND中，，

∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，

∵∠MDN＝60º，∴∠BDM＋∠CDN＝60º，∴∠BDM＋∠BDF＝60º，

在△DMN与△DMF中，，

∴MN＝MF，∴△AMN的周长是：AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋BF＋AN＝AB＋AC＝6.

4.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在线段AB、BC上，

连接EO、FO，满足∠EOF＝60º，连接EF.

（1）①求证：OB＝OC；

②求∠BOC的度数；

（2）求证：CF＝BE＋EF.

【解答】（1）①见解析；②120º；（2）见解析.

【解析】（1）①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60º，

∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB＝30º，∴OB＝OC；

②∵∠OBC＝∠OCB＝30º，∴∠BOC＝180º－∠OBC－∠OCB＝120º.

（2）如图，以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝60º交BC于点G.

∵∠BOC＝120º，∴∠BOF＋∠COG＝60º，

∵∠EOF＝60º，∴∠EOB＋∠BOF＝60º，∴∠COG＝∠EOB，

∵∠ABO＝∠ABC＝30º，∴∠EBO＝∠OCG，∴△BOE≌△COG，∴OG＝OE，BE＝CG，

又∵△OEF≌△OGF，∴EF＝FG，∴CF＝FG＋CG，∴CF＝EF＋BE.

5.如图，在平面直角坐标系中，且.

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）如图2，A、B两点在轴上、轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON＝45º，

试猜想线段BM、AN、MN之间的数量关系，并证明你的结论.

【解答】（1）见解析；（2）

【解析】（1），