2024_2025学年新教材高中数学模块整合一课一练含解析北师大版必修第一册.docxVIP

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模块整合

1.☉%764###0#%☉(复旦高校自主招生)已知函数f(x)的定义域为(0,1),则g(x)=f(x+c)+f(x-c)在0c12时的定义域为()。

A.(-c,1+c)B.(1-c,c)

C.(1+c,-c)D.(c,1-c)

答案：D

解析：要使函数式有意义,需0x

因为0c12,所以cx1-c,即定义域为(c,1-c)

2.☉%#*4##071%☉(全国中学数学联赛(陕西赛区)预赛)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c均为非零整数)。若f(a)=a3,f(b)=b3,则c的值为()。

A.-16B.-4C.4D.16

答案：D

解析：令g(x)=f(x)-x3=ax2+bx+c,则由f(a)=a3,f(b)=b3,得g(a)=g(b)=0,所以a,b为方程g(x)=0的两个根,则a+b=-ba,ab=ca。消去b,得c=-a4a+1=-(a2+1)(a-1)-1a+1。因为a,b,c为非零整数,所以a+1=-1,

3.☉%9#611*￥@%☉(清华高校实力测试题)函数f(x)=2x-21x([x]表示不超过x的最大整数)的值域为(

A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{1,2}

答案：B

解析：本题等价于求函数g(x)=[2x]-2[x],x≠0的值域,考虑到函数g(x)是周期为1的函数,因此只需考虑在x∈(0,1]上的值域,事实上,我们有g(x)=0,x∈(

4.☉%12#7@￥7#%☉(全国中学数学联赛(陕西赛区)预赛)已知a=log85,b=log43,c=23,则a,b,c的大小关系是()

A.abcB.bca

C.bacD.cba

答案：C

解析：由已知得a=log235,b=log23,c=23=log234。因为3534,所以ac。由5233,得353,故ab。综上,

5.☉%44￥@6*0￥%☉(2024·全国中学数学联赛(浙江赛区)预赛)设f(x)=|x+1|+|x|-|x-2|,则f(f(x))+1=0有个不同的解。?

答案：3

解析：由题设可得,f(x)=-

因为f(f(x))+1=0,

所以若f(x)≤-1,则-f(x)-3+1=0,得f(x)=-2;

若-1f(x)≤0,则f(x)-1+1=0,得f(x)=0;

若0f(x)≤2,则3f(x)-1+1=0,得f(x)=0,此状况不符合题意,舍去;

若f(x)2,则f(x)+3+1=0,得f(x)=-4,此状况不符合题意,舍去。

所以f(x)=-2或f(x)=0。

当x≤-1时,f(x)≥-2;当-1x≤0时,-2f(x)≤-1;

当0x≤2时,-1f(x)≤5;当x2时,f(x)5。

故由f(x)=-2,得-x-3=-2,解得x=-1;

由f(x)=0,得-x-3=0或3x-1=0,解得x=-3或x=13

所以f(f(x))+1=0共有3个不同的解。

6.☉%8￥*82@1@%☉(全国中学数学联赛(江苏赛区)复赛)若函数f(x)=(x2-1)(x2+ax+b)对于随意x∈R都满意f(x)=f(4-x),则f(x)的最小值是。?

答案：-16

解析：f(1)=f(-1)=0,又f(x)=f(4-x),

所以f(3)=f(5)=0,

所以f(x)=(x2-1)(x-3)(x-5)=(x2-4x+3)(x2-4x-5)。

令t=x2-4x+4,t≥0,则函数f(x)可转化为g(t)=(t-1)(t-9)=(t-5)2-16,所以f(x)的最小值是-16。

7.☉%*5@*381@%☉(全国中学数学联合竞赛一试(A卷))正实数u,v,w均不等于1,若loguvw+logvw=5,logvu+logwv=3,则logwu的值为。?

答案：45

解析：令loguv=a,logvw=b,则logvu=1a,logwv=1b,loguvw=loguv+loguv·logvw=a+ab,已知条件可化为a+ab+b=5,1a+1b=3,由此可得ab=54。因此logwu=logwv·logvu

8.☉%50*8##*8%☉(2024·全国中学联赛湖北赛区)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作状况如图1所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3。

图1

(1)记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;?

答案：Q1

解析：设线段AiBi的中点为Ci(xi,yi),i=1,2,3,则Qi=2yi,作图可得C1的纵坐标比C2,C3的纵坐标都大,所以Q1,Q2,Q