北京市第三中学2025届高三上学期期中学业测试数学试卷.docx

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北京市第三中学2025届高三上学期期中学业测试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，集合，则（????）

A．或 B．或

C．或x2 D．或x2

2．已知向量，，若，则实数（????）

A．-1 B．1 C．2 D．-2

3．已知角的终边经过点，则的值为（????）

A． B． C． D．

4．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）

A． B． C． D．

5．已知，则（????）

A． B．

C． D．

6．设{a

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

7．已知平面，是内不同于的直线，那么下列命题中错误的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

8．已知函数，数列满足，则“为递增数列”是“”的（???）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要

9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．

10．如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直．是正方形及其内部的点构成的集合，是正方形及其内部的点构成的集合．设，给出下列三个结论：

①，使；

②，使；

③，使与所成的角为．

其中所有正确结论的个数是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题

11．函数的定义域是．

12．已知，且，则．

13．函数在一个周期内的部分取值如下表：

则的最小正周期为；．

14．已知菱形的边长为，，点分别在边上，，.若，则的值为

15．已知函数，给出下列四个结论：

①若，恰有2个零点；

②存在负数，使得恰有1个零点；

③存在负数，使得恰有3个零点；

④存在正数，使得恰有3个零点．

其中所有正确结论的序号是．

三、解答题

16．已知函数．

(1)求的最小正周期及的单调递减区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值．

17．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；

（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.

18．在中，，．

(1)求；

(2)再在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线的长．

条件①；

条件②的周长为；

条件③的面积为．

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

19．根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：

立定跳远单项等级

高三男生

高三女生

优秀

及以上

及以上

良好

~

~

及格

~

~

不及格

及以下

及以下

从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：

男生

女生

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．

(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；

(2)从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；

(3)从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）

20．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若，设函数，在上的最大值为2，求的取值范围.

21．已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设．

(1)判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合;

(2)若具有性质,证明:;

(3)给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

D

D

B

C

D

B

A

C

1．B

【分析】根据全集和补集的概念可直接得结果.

【详解】因为，，所以或.