2025届上海市上海师范大学附属中学闵行分校高三上学期第三次半月考数学试卷.docVIP

2025届上海市上海师范大学附属中学闵行分校高三上学期第三次半月考数学试卷

一、填空题

(★)1.函数的定义域是.

(★)2.已知向量，，若，则实数________

(★★)3.已知复数，其中是虚数单位，，则__________.

(★★)4.已知的展开式中各项系数的和为32，则_______.

(★★★)5.已知双曲线的渐近线方程为，且右顶点与椭圆的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是___________.

(★★)6.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是______天（四舍五入精确）（参考数据：）.

(★★)7.已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是__________.

(★★★)8.若函数的值域为则实数的取值范围是________.

(★★★)9.某医院派出16名护士?4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为______.

(★★★)10.设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______.

(★★★)11.如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则__________.（结果精确到）

(★★★)12.已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量在方向上的投影向量为，向量满足，则的最小值是______．

二、单选题

(★)13.“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★)14.小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为、、，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)15.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）

A．

B．若，则的最大值为

C．若，则复平面内对应的点位于第一象限

D．若是关于的方程的一个根，则

(★★★★)16.已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（）

A．甲正确，乙正确

B．甲正确，乙错误

C．甲错误，乙正确

D．甲错误，乙错误

三、解答题

(★★)17.如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，.

(1)求证：平面平面；

(2)求点A到平面的距离.

(★★★)18.已知函数.

(1)当时，是否存在实数，使得是奇函数；

(2)对于任意给定的非零实数与轴负半轴总有交点，求实数的取值范围.

(★★★)19.如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.

(1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；

(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？

(★★★★)20.如图1，已知抛物线的方程为，直线的方程为，直线交抛物线于两点为坐标原点.

(1)若，求的面积的大小；

(2)的大小是否是定值？证明你的结论；

(3)如图2，过点分别作抛物线的切线和（两切线交点为），分别与轴交于，求面积的最小值.

(★★★★★)21.定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”.

(1)给出两组函数，①和②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）；

(2)若是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为“相伴函数”；

(3)，