北师大版数学九上同步讲义专题05用配方法求解一元二次方程（3个知识点7种题型2个易错点4种中考考法）（原卷版）.docx

专题05用配方法求解一元二次方程（3个知识点7种题型2个易错点4种中考考法）

【目录】

倍速学习五种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1：用直接配平方法求解一元二次方程（重点）

知识点2：用配方法求解一元二次方程（重点）

知识点3：利用一元二次方程求解简单的实际问题（难点）

【方法二】实例探索法

题型1：用直接开平方法解一元二次方程

题型2：用配方法解一元二次方程

题型3：用配方法求字母的值

题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值

题型5：直接开平方法在实际生活中的应用

题型6：用配方法判断三角形的形状

题型7：利用配方法解决有关新定义问题

【方法三】差异对比法

易错点1混淆方程配方与代数式配方

易错点2配方时，没有进行恒等式变形而导致错误

【方法四】仿真实战法

考法1：解一元二次方程-直接开平方法

考法2：解一元二次方程-配方法

考法3：换元法解一元二次方程

考法4：配方法的应用

【方法五】成果评定法

【知识导图】

【倍速学习四种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1：用直接配平方法求解一元二次方程（重点）

形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；

如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．

③方法是根据平方根的意义开平方．

【例1】（2022秋?江都区校级期末）方程x2＝4的解是（）

A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4

知识点2：用配方法求解一元二次方程（重点）

（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

要点诠释：

（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）配方法的理论依据是完全平方公式．

【例2】用配方法解一元二次方程.

【例3】如何用配方法解方程

知识点3：利用一元二次方程求解简单的实际问题（难点）

一元二次方程是刻画现实问题的有效数学模型，有些通过列一元二次方程来解决的实际问题都可以利用配方法或直接开平方法来解决。

注意：一定要检验所得的根是否符合实际意义

【例4】（2023?定远县校级三模）阅读下面的材料：

我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2﹣2a+5的最小值．方法如下．

∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；

∴代数式a2﹣2a+5的最小值是4．

（1）①仿照上述方法求代数式m2﹣4m﹣3的最小值为．

②代数式﹣x2﹣4x+7的最大值为．

（2）延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边面积为Sm2．当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？

【方法二】实例探索法

题型1：用直接开平方法解一元二次方程

解方程(x-3)2=49．

2.解关于的方程：．

3.解关于的方程：．

4.解关于的方程：．

5.解关于的方程：．

6.解关于的方程：．

7.解关于的方程：．

题型2：用配方法解一元二次方程

8.用配方法解方程：．

9.用配方法解方程：．

10.用配方法解方程：．

11.用配方法解方程：．

12.用配方法解方程：．

13.用配方法解方程：．

14.用配方法解关于x的方程：．

题型3：用配方法求字母的值

15.若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则 ．

16.已知，求的值．

题型4：用配方法求代数式的最大（最小）值

17．（2023春?苏州月考）先阅读下面的内容，再解决问题．

例题：若m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0，求m和n的值．

解：∵m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0

∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0

∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0

∴m+n＝0且n﹣3＝0

∴m＝﹣3，n＝3

问题：

（1）若x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0，求x和y的值．

（2）求代