华师 九下 数学 第27章 圆《圆的对称性 第2课时》课件.pptx

第27章圆27.1.2圆的对称性第2课时

1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题

问题1：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？你能证明你的结论吗？1垂径定理及其推论

OOO归纳：圆的任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

问题2：已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AA是弦，且CD⊥AA，垂足为M.求证：CD是AA的垂直平分线.·OAADMC证明：连接OA，OA.在△OAA中，∵OA=OA，∴△OAA是等腰三角形.又∵AA垂直CD,∴MA=MA.即CD是AA的垂直平分线.

从上面过程中我们可以知道：从把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点A重合，AM与AM重合，AC和AC,AD与AD重合．((((即直径CD平分弦AA，并且平分AA,ACA.((·OAADMC

垂直定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.·OABCDE应用格式：如图，∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，AD=BD,AC=BC.((((归纳总结：

思考1：反过来，如果直径平分不是直径的弦，那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？·OABCDE如图，如果CD平分AB.那么我们可以证明出△AOE≌△BOE(SSS).从而得知∠AEO=∠BEO=90°，那么就有CD⊥AB.再由垂直定理得出CD平分AB和ACB.((

思考2：那么平分弧的直径是不是垂直平分这条弧所对的弦？·OABCDE那么我们可以证明出△AOE≌△BOE(SAS).从而得知∠AEO=∠BEO=90°，那么就有CD⊥AB.如图，设点D为弧AB的中点，CD为圆O的直径.连接OA、OB、AB，且CD交AB于点E.

垂直定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分这条弦所对的两条弧.注意：因为圆的两条直径是互相平分的,所以不是直径这个条件不能去掉.归纳总结：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.

例1.如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心到弦AB的距离.解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB，垂足为E，则·OABE又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，有答：圆心到弦AB的距离是4cm.圆心到弦的距离叫做弦心距.

例2.如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC=2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵CE⊥AB于D，设OC=xcm，则OD=(x－2)cm，根据勾股定理，得x2=42+(x－2)2，解得x=5.即半径OC的长为5cm.∴.

例3.已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：AC＝BD.((.CDABOMN解：证明：作直径MN⊥AB，如图.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM，（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）((((∴AM－CM＝BM－DM，((((∴AC＝BD.((

1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）A.8cmB.9cmC.7cmD.6cmA

2.如图，⊙O的弦AB=8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM=3，则MN的长为（）A.2B.3C.4D.5A

3.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=cm.16·OABE

4.如图，直径AB垂直于弦CD于点E，CD=4，AE=8，⊙O的半径长为________.417

例4.赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥主桥拱的半径.

解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交弧AB于点C，交AB于点D，则CD=7.2m.ABOCD∴r2=(r-7.2)2+18.72.解得r≈27.9.即赵州桥主桥拱的半径约为27.9m.由勾股定理，得OD=r-7.2，AD=18.7.设⊙O的半径为r，在Rt△AOD中，AO=r，由垂径定理，得AD=AB=18.7m，

5.如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60m，拱高为18m，求拱桥的半径.解：连接OA，设圆弧的圆心为点O，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，交圆弧于点E，OED设拱桥的半径为xm，解得x=34.则(x-18)2+302=x2,即拱桥的半径为34m.则AD=BD=AB=30m，DE=18m.

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