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2024-2025学年湖南省长沙实验中学高三(上)第三次段考数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|32x17},B={0,1,2,3,4,5},则A∩B=
A.{0,1} B.{0,1,5} C.{2,3,4} D.{5}
2.已知复数z满足(z?i)(1?i)=3+i,z的共轭复数为z?,则z?的虚部为(????)
A.3 B.3i C.?3i D.?3
3.若a=ln10,b=ln2?ln5,c=ln4e
A.cab B.abc C.cba D.bac
4.已知|b|=2|a|,若a与b的夹角为60°,则2a?
A.b B.?12b C.?
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=2,则4a+c的最小值为(????)
A.16 B.18 C.20 D.14
6.已知函数f(x)=3x2?2lnx+(a?1)x+3在区间(1,2)上有最小值,则实数a的取值范围是
A.a?3 B.?493a?10 C.?
7.若α,β,γ∈(2π,5π2),且sinα?2cosβ+γ2
A.±12 B.12 C.±
8.已知定义在实数集R上的函数f(x),其导函数为f′(x),且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=0,f′(1)=12,则f′(2)=(????)
A.0 B.34 C.1 D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知复数z1,z2,满足|z1
A.若|z1|=|z2|,则z12=z22
10.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是半径为R的水车,一个水斗从点A(33,?3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,旋转一周用时60秒,经过t秒后,水斗旋到点P,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω0,|φ|π2)
A.R=6,ω=π30,φ=?π6
B.当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6
C.当t∈[35,55]时,函数y=f(t)单调递减
D.
11.定义:在区间I上,若函数y=f(x)是减函数,且y=xf(x)是增函数,则称y=f(x)在区间I上是“弱减函数”.根据定义可得(????)
A.f(x)=1x在(0,+∞)上是“弱减函数”
B.f(x)=xex在(1,2)上是“弱减函数”
C.若f(x)=lnxx在(m,+∞)上是“弱减函数”,则m≥e
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若曲线y=lnxx上点P的切线平行于直线x?y+1=0,则点P的坐标是______.
13.在△ABC中,已知DC=3BD,P为线段AD的中点,若BP=λBA+μBC
14.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω0,0≤φ≤π2)的图象经过点(0,2),且在y轴右侧的第一个零点为π4,当x∈[0,2π]时,曲线
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图,已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosAcosC=a2b?c.
(1)求A的值;
(2)若c=2b=4,M为边BC上一点,且BM=2MC,求
16.(本小题15分)
如图,在三棱锥A?BCD中,平面ABC⊥平面BCD,∠BCD=∠BDC=π6,P为棱AC的中点,点Q在棱CD上,PQ⊥BC,且DQ=2QC.
(1)证明:AB⊥平面BCD;
(2)若AB=BD,求平面CPQ与平面ABD的夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex+acosx在x=0处的切线方程为y=x+2.
(1)求实数a的值;
(2)探究f(x)在区间
18.(本小题17分)
已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a0,b0)的焦距为4,离心率为2,F1,F2分别为C的左、右焦点,两点A(x1,y1),B(x2,y2)都在C上.
(1)求C的方程;
19.(本小题17分)
随着大数据时代来临,数据传输安全问题引起了人们的高度关注,国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等,不同算法密钥长度也不同,其中RSA的密钥长度较长,用于传输敏感数据.在密码学领域,欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p,q是两个正整数,若p,q的最大公约数是1,则称p,q互素.对于
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