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江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高二上学期11月期中学业水平质量监测数学试题B卷
(试卷满分:150分,考试时间:120分钟)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在答题卡上.
2.将每题的答案或解答写在答题卡上,在试卷上答题无效.
3.考试结束,只交答题卡.
一、单项选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.)
1.已知抛物线上一点,则()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将点坐标代入抛物线的方程,从而求得的值.
点坐标代入抛物线的方程得,解得.
故选:A
2.已知圆过三点,则的圆心和半径分别为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设圆的标准方程为,其中为圆心坐标,为半径.
已知圆过,,三点,将这三点分别代入圆的标准方程,得到三个方程,联立求解就可以得到圆心坐标和半径.
设圆的标准方程为,其中为圆心坐标,为半径.
将,代入,得到,
展开整理可得,.
将,代入,得到,
展开整理可得,.
将,代入,得到,
展开整理可得,.
三个式子联立解得,,,.
则所以圆心坐标为,半径为.
故选:D.
3.方程表示椭圆,则的取值范围是()
A. B.或 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程表示椭圆列不等式,由此求得的取值范围.
由于方程表示椭圆,
所以,解得或.
故选:B
4.已知双曲线的离心率为4,则双曲线的渐近线方程为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据渐近线的斜率与离心率的关系求得正确答案.
依题意,
解得,所以渐近线方程为.
故选:D
5.已知圆和圆相交于,两点,则下列结论中错误的是()
A.两圆相交 B.直线AB的方程为
C.两圆有两条公切线 D.线段AB的长为
【答案】B
【解析】
【分析】先判断两个圆的位置关系,然后求得相交弦所在直线方程,再求得弦长.
圆的圆心是,半径为,圆的圆心是,半径为,
圆心距为,所以两圆相交,A选项正确,公切线有条,C选项正确.
由、两式相减并化简得,
B选项错误.
到直线的距离为,
所以,D选项正确.
故选:B
6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,河岸线所在直线方程为,若将军从点处出发,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短路程为()
A. B. C.4 D.2
【答案】B
【解析】
【分析】利用对称性以及两点间的距离公式来求得正确答案.
圆的圆心为,半径,
设关于直线的对称点为,
则,解得,则,
,
所以“将军饮马”的最短路程为.
故选:B
7.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点,且直线的斜率为是面积为3的直角三角形,则双曲线的方程为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理,转化出三边比例,设,由面积公式求出,由勾股定理得出,结合第一定义再求出.
如下图:由题可知,点必落在第四象限,,设,
,由,
由,解得,
因为,所以,求得,即,
由,解得,
由正弦定理可得:,
则由得,
由得,
则,
由双曲线第一定义可得:,,
所以双曲线的方程为.
故选:A
8.已知A,B,C,D是椭圆上四个不同的点,且是线段的交点,且,若,则直线的斜率为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量共线、类似点差法建立等量关系式,由直线垂直斜率的关系求出直线l的斜率.
设,而,
因,故,
即,
所以,则,
又Ax1,
故①,且,
即②,
①②两式相减并化简得:,
即③,
同理可得:④,
④-③得:,
所以,
因为,所以直线l的斜率为.
故选:D
【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题,常用点差法,该法计算量小,模式化强,易于掌握,若相交弦涉及的定比分点问题时,也可以用点差法的升级版—定比点差法,解法快捷.
二、多项选择题:(本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.)
9.已知直线,则下列结论正确的是()
A.直线恒过定点 B.当时,直线的倾斜角为
C.当时,直线的斜率为0 D.当时,直线与直线AB垂直
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线的定点、倾斜角、斜率、垂直等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.
直线,
当时,,所以直线恒过定点,A选项正确.
时,,斜率为
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