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第10讲提取公因式法、公式法分解因式

模块一：提取公因式法

知识精讲

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模块一：提取公因式法

1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也

叫做把这个多项式分解因式．

2、因式分解与整式乘法互为逆变形：

式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．

3、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．

4、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，

将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．

5、提取公因式的步骤：

（1）找出多项式各项的公因式．

（2）提出公因式．

（3）写成与的乘积形式．

6、提取公因式法的几个技巧和注意点：

（1）一次提净；

（2）视“多”为“一”；

（3）切勿漏1；

（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；

（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解；

（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．

分解因式：

（1）； （2）； （3）．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）； （2）；

（3）．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意当第一项的系数是负数时，一般应提出这个负号，并注意其它项的符号的变化．

分解因式：

（1）； （2）； （3）．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）； （2）；

（3）．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．

把下列各式分解因式：

（1）；（2）．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）原式

；

（2）原式

．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．

分解因式：．

【答案】．

【解析】原式

．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．

试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除．

【答案】见【解析】．

【解析】设这个三位数为，其中为1-9之间的整数，为0-9之间的整数， 交换百位数字与个位数字后可得新三位字为，

所以，

∵是整数，∴能被11整除．

【总结】本题一方面考查利用提取公因式分解因式，另一方面考查整除的概念．

化简下列多项式：．

【答案】．

【解析】原式

．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式．

模块二：公式法

1、平方差公式：

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；

②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．

2、完全平方公式：

①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．

分解因式：

（1）； （2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）原式；

原式

；

原式

．

【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意分解一定要彻底．

分解因式：．

【答案】．

【解析】原式

【总结】连续运用两次完全平方公式，本题主要考查学生是否彻底分解因式．

把下列各式分解因式：

（1）； （2）．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）解法一：原式，

解法二：原式；

（2）原式

．

【总结】本题主要利用拆开再组合的原理进行了分解因式．

利用分解因式证明：能被120整除．

【答案】详见【解析】

【解析】解法一：原式，

解法二：原式，

∴能被120整除．

【总结】本题主要考查利用因式分解来说明整除性．

（2022秋·上海·七年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解）、平方差公式（）逐项判断即可得．

【详解】解：A、等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，则此项不符题意；

B、是整式的乘法运算，不是因式分解，则此项不符题意；

C、等式右边等于，与等式左边不相等，不是因式分解，则此项不符题意；

D、等式右边等于，即等式的两边相等，且等式右边是整式积的形式，是因式分解，则此项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了因式分