2024-2025学年初中数学八年级上册（人教版）同步讲练 专题强化训练01 等腰（边）三角形的判定与性质（30题）（解析版）.docx

专题第01讲等腰（边）三角形的判定与性质

一．解答题（共30小题）

1．（2022秋?韩城市期末）如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．

【分析】（1）根据角平分线定义得到∠DAF＝∠CAF，根据平行线的性质得到∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，于是得到结论；

（2）根据三角形的内角和得到∠BAC＝100°，由三角形的外角的性质得到∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，根据角平分线定义得到ACE＝70°，根据平行线的性质即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC，

∴∠DAF＝∠CAF，

∵AF∥BC，

∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，

∴∠B＝∠ACB，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，

∴∠ACB＝∠B＝40°，

∴∠BAC＝100°，

∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，

∵CG平分∠ACE，

∴ACE＝70°，

∵AF∥BC，

∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．

2．（2023春?修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．

（1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；

（2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长．

【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论；

（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．

【解答】解：（1）△AEF是等腰三角形，

理由：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵EF∥BC，

∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，

∴∠AEF＝∠AFE，

∴△AEF是等腰三角形；

（2）∵△ABC的周长为18，BC＝6，

∴AB+AC＝18﹣6＝12，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵EF∥BC，

∴∠EDB＝∠DBC，

∴∠ABD＝∠EDB，

∴BE＝ED，

同理DF＝CF，

∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝12．

3．（2023春?新泰市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．

（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．

（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．

【分析】（1）由角平分线求出∠ABF的度数，再利用外角的性质即可；

（2）证出△ABD≌△CBD，得出△ABC是等边三角形即可解决问题．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，

∴∠ABC＝70°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABF＝35°，

∵AF⊥AB，

∴∠BAF＝90°，

∴∠AFE＝125°．

（2）∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵BD⊥AC，

∴∠ADB＝CDB＝90°，

∴△ABD≌△CBD（ASA），

∴AB＝BC，

∵AB＝AC，

∴三角形ABC是等边三角形，

∴∠ABF＝30°，

∴AF＝4，

在Rt△ADF中，

DF＝2．

4．（2023春?淄博期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一个动点，DF⊥BC于点F，交CA延长线于点E，

（1）试判断AD、AE的大小关系，并说明理由；

（2）当点D在BA的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由．

【分析】（1）根据已知条件得出∠C+∠E＝90°，∠B+∠BDF＝90，再根据∠B＝∠C得出∠BDF＝∠E，最后根据∠BDF＝∠ADE，得出∠E＝∠ADE，即可证出AD＝AE．

（2）作法同（1）完全相同．

【解答】解：（1）AD＝AE；

理由：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵DF⊥BC，

∴∠BDF+∠B＝90°，∠C+∠E＝90°，

∴∠E＝∠BDF，

∵∠BDF＝∠EDA，

∴∠E＝∠EDA，

∴AE＝AD；

（2）成立；

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵DF⊥BC，

∴∠BDF+∠B＝90°，∠C+∠FEC＝90°，

∴∠FEC＝∠BDF，

∵∠FEC＝∠AED，

∴∠ADE＝∠AED，

∴AE＝AD．

5．（2023春?郫都区期末）如图，AM∥BN，∠BCM和∠CBN的角平分线交于点D，DE∥BN交BC于点E．（解答过程要求写出每步推导的理由）

（1）求∠BDC的度数；

（2）若AB＝AC，求证：AE⊥BC．

【分析】（1）根据平行线的性质可得∠CBN+∠BCM＝180°，再根据角平分线的定义可得∠NBD＝∠DBE＝∠NBC，∠ECD＝∠DCM＝∠BCM，然后再利