函数y=Asin(wx+φ)讲义-2025届高三数学一轮复习.docxVIP

函数

课标要求

1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.

2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．

教学目标：了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.

教学重点：参数ω，φ，A对函数图象的影响，函数的理解及应用

教学难点：应用函数解决问题

教学过程：

环节1.问题检测：

问题1：请画出，并回答它们与图象之间的关系？

问题2：画出，并说出如何由变换而来？

（注意两次平移单位的不同）

环节2.知识梳理

1.简谐运动的有关概念：已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x≥0

振幅

周期

频率

相位

初相

A

T＝eq\f(2π,ω)

f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)

ωx＋φ

φ

2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点

ωx＋φ

0

eq\f(π,2)

π

eq\f(3π,2)

2π

x

eq\f(0－φ,ω)

eq\f(\f(π,2)－φ,ω)

eq\f(π－φ,ω)

eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)

eq\f(2π－φ,ω)

y＝Asin(ωx＋φ)

0

A

0

－A

0

3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种途径

环节3.考点强化

考点1：函数图象变换

例1.（1）函数f(x)＝(ω0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为eq\f(π,3)，得到函数g(x)＝Acosωx的图象，只需将f(x)的图象()

A．向左平移eq\f(π,12)个单位长度B．向右平移eq\f(π,12)个单位长度

C．向左平移eq\f(π,18)个单位长度D．向右平移eq\f(π,18)个单位长度

（2）2022·全国甲卷)将函数f(x)＝(ω0)的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是()

A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)

答案：（1）C（2）C

方法总结：1.由y＝sinωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的图象的变换：向左平移eq\f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．

2.如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．

练习：1.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的

A.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度

B.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度

D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

2.（2021乙卷理科.7）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则

A. B. C. D.

答案：1.C2.B

考点2.由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

例2.（1）(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0,0φπ)在一个周期内的图象如图所示，则()

A．A＝4B．ω＝2C．φ＝eq\f(π,3)D．k＝1

（2）如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，

其中|AB|＝5，则此函数的解析式为________．

答案：1.BD2.y＝2sin

方法总结：确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的步骤和方法

(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).

(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq\f(2π,T).

(3)求φ.常用方法如下：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．

练习：1.（2021高考甲卷数学）已知函数的部分图像如图所示，则_______________.

2.(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝eq\f(1,2)与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝eq\f(π,6)，则f(π)＝________.

答案：1.2.－eq\f(\r(3),2)

考点