一轮复习中函数单调性的常考模型讲义-2025届高三数学一轮复习.docxVIP

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函数中单调性的常见模型

知识讲解

1定义及判定方法

函数的

性质

定义

图象

判定方法

函数的

单调性

如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说在这个区间上是增函数.

(1)利用定义

(2)利用已知函数的单调性

(3)利用函数图象(在某个区间图

象上升为增)

(4)利用复合函数

如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说在这个区间上是减函数.

(1)利用定义

(2)利用已知函数的单调性

(3)利用函数图象(在某个区间图

象下降为减)

(4)利用复合函数

2在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.

3对于复合函数,令,若为增,为增,则为增;若为减,为减,则为增;若为增,为减,则为减;若为减,为增,则为减。

4常见函数的单调性:

①一次函数,定义域为。

当,随的增大而增大;当,随的增大而减小。

②二次函数,定义域为。

当,在上单调递减,在上单调递增;

当,在上单调递增,在上单调递减。

③反比例函数,定义域为。

当,在上单调递减,在上单调递减;

当,在上单调递增,在上单调递增。

④指数函数,定义域为。

当,在上单调递增;当,在上单调递减。

⑤对数函数,定义域为。

当,在上单调递增;当,在上单调递减。

⑥正弦函数,定义域为。

在上单调递增;

在上单调递减。

⑦余弦函数,定义域为。

在上单调递增;在上单调递减。

⑧正切函数,定义域为。

在上单调递增。

⑨已知函数的单调性

解:的两个极值点分别为,在和上单调递增;在上单调递减。

⑩已知函数的单调性

解:的定义域为,在上单调递减;在上单调递增。

?绝对值函数,定义域为,在上单调递减;在上单调递增。

二、例题精析

【考点一、定义法判断下列函数的单调性】

【例题1】下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()

A. B.

C.y=lgx D.y=(x﹣1)2+1

【分析】根据指数函数性质可对A项判断;利用幂函数性质可对B项判断;利用对数函数性质可对C项判断;利用二次函数性质可对D项判断,综合可得答案.

[答案]:C

解析:根据题意,依次分析选项:

对于A:根据指数函数的单调性可知该函数在R上为单调减函数,故A项错误;

对于B:根据幂函数的性质可知该函数在(0,+∞)上为单调递减函数,故B项错误;

对于C:根据对数函数的单调性可知该函数在(0,+∞)上为单调递增函数,故C项正确;

对于D:根据二次函数的性质可知该函数在(0,+∞)上不单调,故D项错误.故选:C.

【例题2】下列函数在定义域上为减函数的是()

A.f(x)=2x﹣1 B.

C.f(x)=sinx D.

【分析】根据题意,依次分析选项中函数的单调性,综合可得答案.

答案:D

解析:根据题意,依次分析选项:

对于A,f(x)=2x﹣1在(﹣∞,+∞)上是单调增函数,A错误;

对于B,,f(﹣1)=﹣1,f(1)=1,f(﹣1)<f(1),f(x)不是单调减函数,B错误;

对于C,f(x)=sinx,不是单调减函数,C错误;

对于D,在R上单调递减,D正确.故选:D.

【例题3】下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是()

A.y=x2﹣2x B.y=log2x C. D.

【分析】根据题意,依次分析选项中函数的单调性,综合可得答案.

【答案】:C

解析:根据题意,依次分析选项:

对于A,y=x2﹣2x,在区间(1,+∞)上为增函数,不符合题意;

对于B,y=log2x,是对数函数,在(0,+∞)上为增函数,不符合题意;

对于C,y=()|x|=,在区间(0,+∞)上单调递减,符合题意;

对于D,y=x﹣,函数y=x和y=﹣在区间(1,+∞)上都是增函数,则y=x﹣在区间(1,+∞)上是增函数,不符合题意.故选:C.

【例题4】(多选题)下列函数中,在定义域内单调递增的为()

A.y=log0.2x B.y=22x C. D.y=tanx,

【分析】掌握常见函数的单调性,根据题意,依次分析选项中函数的单调性,即可得答案.

答案:BD

解析:A.y=log0.2x为对数函数,0.2<1,

所以函数y=log0.2x在定义域内单调递减,不符合题意;

y=22x=4x,函数y=4x为指数函数,在定义域内单调递增,符合题意;

C.,为对勾函数,在定义域内不具有单调性,不符合题意;

D.y=tanx,,为正切函数,在定义域内单调增,故选:BD.

【方法和总结】:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说在这个区间上是增函数,当时,都有,那么就说在这个区间上是减函数。

【考点二、求函数的单调区间】

【例题5】已知函数f(x)

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