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函数中单调性的常见模型
知识讲解
1定义及判定方法
函数的
性质
定义
图象
判定方法
函数的
单调性
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说在这个区间上是增函数.
(1)利用定义
(2)利用已知函数的单调性
(3)利用函数图象(在某个区间图
象上升为增)
(4)利用复合函数
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说在这个区间上是减函数.
(1)利用定义
(2)利用已知函数的单调性
(3)利用函数图象(在某个区间图
象下降为减)
(4)利用复合函数
2在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.
3对于复合函数,令,若为增,为增,则为增;若为减,为减,则为增;若为增,为减,则为减;若为减,为增,则为减。
4常见函数的单调性:
①一次函数,定义域为。
当,随的增大而增大;当,随的增大而减小。
②二次函数,定义域为。
当,在上单调递减,在上单调递增;
当,在上单调递增,在上单调递减。
③反比例函数,定义域为。
当,在上单调递减,在上单调递减;
当,在上单调递增,在上单调递增。
④指数函数,定义域为。
当,在上单调递增;当,在上单调递减。
⑤对数函数,定义域为。
当,在上单调递增;当,在上单调递减。
⑥正弦函数,定义域为。
在上单调递增;
在上单调递减。
⑦余弦函数,定义域为。
在上单调递增;在上单调递减。
⑧正切函数,定义域为。
在上单调递增。
⑨已知函数的单调性
解:的两个极值点分别为,在和上单调递增;在上单调递减。
⑩已知函数的单调性
解:的定义域为,在上单调递减;在上单调递增。
?绝对值函数,定义域为,在上单调递减;在上单调递增。
二、例题精析
【考点一、定义法判断下列函数的单调性】
【例题1】下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()
A. B.
C.y=lgx D.y=(x﹣1)2+1
【分析】根据指数函数性质可对A项判断;利用幂函数性质可对B项判断;利用对数函数性质可对C项判断;利用二次函数性质可对D项判断,综合可得答案.
[答案]:C
解析:根据题意,依次分析选项:
对于A:根据指数函数的单调性可知该函数在R上为单调减函数,故A项错误;
对于B:根据幂函数的性质可知该函数在(0,+∞)上为单调递减函数,故B项错误;
对于C:根据对数函数的单调性可知该函数在(0,+∞)上为单调递增函数,故C项正确;
对于D:根据二次函数的性质可知该函数在(0,+∞)上不单调,故D项错误.故选:C.
【例题2】下列函数在定义域上为减函数的是()
A.f(x)=2x﹣1 B.
C.f(x)=sinx D.
【分析】根据题意,依次分析选项中函数的单调性,综合可得答案.
答案:D
解析:根据题意,依次分析选项:
对于A,f(x)=2x﹣1在(﹣∞,+∞)上是单调增函数,A错误;
对于B,,f(﹣1)=﹣1,f(1)=1,f(﹣1)<f(1),f(x)不是单调减函数,B错误;
对于C,f(x)=sinx,不是单调减函数,C错误;
对于D,在R上单调递减,D正确.故选:D.
【例题3】下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是()
A.y=x2﹣2x B.y=log2x C. D.
【分析】根据题意,依次分析选项中函数的单调性,综合可得答案.
【答案】:C
解析:根据题意,依次分析选项:
对于A,y=x2﹣2x,在区间(1,+∞)上为增函数,不符合题意;
对于B,y=log2x,是对数函数,在(0,+∞)上为增函数,不符合题意;
对于C,y=()|x|=,在区间(0,+∞)上单调递减,符合题意;
对于D,y=x﹣,函数y=x和y=﹣在区间(1,+∞)上都是增函数,则y=x﹣在区间(1,+∞)上是增函数,不符合题意.故选:C.
【例题4】(多选题)下列函数中,在定义域内单调递增的为()
A.y=log0.2x B.y=22x C. D.y=tanx,
【分析】掌握常见函数的单调性,根据题意,依次分析选项中函数的单调性,即可得答案.
答案:BD
解析:A.y=log0.2x为对数函数,0.2<1,
所以函数y=log0.2x在定义域内单调递减,不符合题意;
y=22x=4x,函数y=4x为指数函数,在定义域内单调递增,符合题意;
C.,为对勾函数,在定义域内不具有单调性,不符合题意;
D.y=tanx,,为正切函数,在定义域内单调增,故选:BD.
【方法和总结】:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说在这个区间上是增函数,当时,都有,那么就说在这个区间上是减函数。
【考点二、求函数的单调区间】
【例题5】已知函数f(x)
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