人教版高中数学选择性必修第二册4.3.1（第2课时）等差数列的性质及应用 课件.pptxVIP

4.3.1等比数列的性质及应用

(第2课时)

人教A版(2019)

选择性必修第二册

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等比数列

等差数列

定义

an+1-an=d

公比(公差)

q不可以是0

d可以是0

等比(差)中项

等比中项→G²=ab

等差中项→2A=a+b

通项公式

an=a₁qn-1(n≥2)an=amqn-m

an=a₁+(n-1)d

an=am+(n-m)d

性质

若m+n=p+q

amQn=apaq

am+an=ap+aq

温故知新

问题：

等比中项与等差中项的区别?

提示：

(1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项

(2)两个数a,b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个

拓展

两个等比数列合成数列的性质

若数列{an},{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列

也为等比数列.

{can},{a2},

例4用10000元购买某个理财产品一年.

(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到1元)?(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到10-5)?

分析：

复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r,则从第一期开始，各期的本利和.

解：(1)设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an},则{an}是等比数列，

首项a₁=10⁴(1+0.400%),

公比q=1+0.400%,所以

a₁2=10⁴(1+0.400%)¹²≈10490.7

所以，12个月后的利息为10490.7-10⁴≈491(元)

(2)设季度利率为r,这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列{bn},

则{bn}也是一个等比数列，

首项b₁=10⁴(1+r),公比为1+r,于是

b₄=10⁴(1+r)⁴

因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为[10⁴(1+r)⁴-10⁴]元.

解不等式10⁴(1+r)⁴-10⁴≥491,得

r≥1.206%

所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息。

例5已知数列{an}的首项a₁=3.

(1)若{an}为等差数列，公差d=2,证明数列{3an}为等比数列；

(2)若{an}等比数列，公比为,证明数列{log₃an}为等差数列.

分析：

根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明.

例5已知数列{an}的首项a₁=3.

(1)若{an}为等差数列，公差d=2,证明数列{3an}为等比数列；

(2)若{an}等比数列，公比为,证明数列{log₃an}为等差数列.

证明：

(1)由a₁=3,d=2,得{an}的通项公式为an=2n+1.

所以，{3an}是以27为首项，9为公比的等比数列.

设bn=3an,

又b₁=3³=27

则

例5已知数列{an}的首项a₁=3.

(1)若{an}为等差数列，公差d=2,证明数列{3an}为等比数列；

(2)若{an}等比数列，公比为,证明数列{log₃an}为等差数列.

两边取以3为底的对数，得log₃an=log₃33-2n=3-2n

所以log₃an+1-log₃an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2

又log3a₁=log33=124

所以，{log₃an}是首项为1,公差为-2的等差数列.

证明：

(2)由a₁=3,

思考

(1)已知b0且b≠1,如果数列{an}是等差数列，那么数列{ban}是否

一定是等比数列?

(2)如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列?

提示：

(1)设{an}的首项为a₁,公差为d,则an+1-an=d.

Cn=ban,则C₁=ba1

又因为b0且b≠1,所以bd常数故{Cn}是首项为ba1,公比为bd的等比数列.

思考

(2)如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列?

提示：

(2)设数列{an}的首项为a(a0),公比为q(q0),则数列{an}的各项分别为

a,aq,aq²,…,aqn-1

对各项分别取以b为底的对数，得

logba,log,aq

,log,aq²,…,logb

aqn-1

即

logba,logba+logbq

,logba+2

logbq,…,logba+(n-1)logbq

这就形成首项是logba,公差是logbq的等差数