2021年中考数学压轴题讲次05 相似三角形的存在性问题.pdfVIP

专题05相似三角形的存在性问题

若AABC与郎相似，理论上应有六种可能情况，但在考，6种情况未免过于复

杂，所以题目一般都还会隐含(或明示)着其一组对应角关系，于是就只需讨论两种情

况是否可能，并解出相关结果.

可以将相似三角形的存在问题大致分为两类：以函数为背景的和以几何为背景的。相比

而言，以函数为背景的题目往往计算过程较为复杂，但思维过程相对简单，需要的是仔细认

真；而以几何为背景的题目思维过程更为复杂，需要相对高的几何能力.

日以函数为背景的相似三角形问题

相似三角形的存在性问题

以几何为背景的相似三角形问题

模块一：以函数为背景的相似三角形问题

1、知识内容：

在纯几何问题，证明三角形相似主要有三种方法：①两组角对应相等；②一组角相等

且其两边对应成比例；③三组边对应成比例.

在以函数为背景的压轴题，基本都属于第二种情况，其他两种出现较少。若AABC与

ADE尸相似，且Z4=,则可能有两种情况：;②空=竺.

ACDFACDE

2、解题思路：

(1)寻找或证明两个三角形一定相等的两个角；

(2)计算或表示出夹此两角的四条边的三条；

(3)解出第四条边，并代回题面进行验证，舍去多余情况.

.典例剖析」

例1.(长宁、金山区)如图，在平面直角坐标系xQy，抛物线V=；/+加什〃经过点8(6,

1),C(5,0),且与y轴交于点N.

(1)求抛物线的表达式及点力的坐标；

(2)点尸是夕轴右侧抛物线上的一点，过点尸作尸0，。/,交线段。的延长线于点0,

如果/以8=45°.求证：MQAs/XACB；

(3)若点尸是线段(不包含端点)上的一点，且点尸关于ZC的对称点尸恰好在上述

抛物线上，求叮的长.

【整体分析】

(1)将点8、C代入抛物线解析式)，=§x2+mx+〃即可；

(2)先证△48C为直角三角形，再证/Q1P+NC/8=9O°,又因,

即可证

(3)做点B关于AC的对称点B,求出的坐标，直线/夕的解析式，即可求出点尸

的坐标，接着求直线尸尸的解析式，求出其与＜8的交点即可.

【满分解答】

解：(1)将8(6,1),C(5,0)代入抛物线解析式y=；x2+?x+〃，

1=12+6/71+n,

得L25u

0=F5m+〃，

Q

解得，m=--,〃=5,

1o

则抛物线的解析式为：y=—/-：x+5,点Z坐标为0（,5）

33

222222

⑵75+5=5V2BC=76（-5）+1=日AB=75（-1）+6=2万，

...△/8C为直角三角形，且/NC8=90°,

当/玄8=45°时，点P只能在点8右侧，过点P作尸。，》轴于点。，

：.ZQAB+ZOAB^\SO°-ZPAB^\35°,

：.ZQAP+ZCA