2025年课标高考文数版习题与历届真题试卷-基本不等式(带答案解析).docx

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7.3基本不等式

三年模拟

一、选择题

1.(2024陕西宝鸡模拟,9)已知x0,y0,lg2x+lg8y=lg2,则1x

A.4B.3C.2D.1

答案A因为x0,y0,lg2x+lg8y=lg2,

所以lg(2x×8y)=lg2,即2x+3y=2,所以x+3y=1,

所以1x+1

2.(2024重庆巴蜀中学3月适应考(八),6)已知正实数a,b满足ab+2a-2=0,则4a+b的最小值是()

A.2B.42-2C.4

答案B由ab+2a-2=0知a=2b+2,又a,b为正实数,所以4a+b=8b+2+b=8b+2+(b+2)-2≥2

3.(2024长春模拟,7)已知x2+y2=1,x∈R,y∈R,且xy≠0,则()

A.|x+y|≥2

B.|xy|1

C.log2|x|+log2|y|≤-1

D.1|

答案C由x2+y2=1得|x|2+|y|2=1,则1=|x|2+|y|2≥2|xy|,所以|xy|≤12,|x+y|=1+2xy≤2,log2|x|+log2|y|=log2|xy|≤-1,1|

4.(2024内蒙古模拟,8)下列函数中,最小值为9的是()

A.y=x

C.y=lgx+4

答案BA中函数无最小值;y=1sin2x+

当x=10000时,y=lg10000+4lg10

当x=0时,y=(2

故选B.

5.(2024安徽协作体联考,9)若a0,b0,4ab+b-1=0,则a+b的最小值为()

A.34

C.17

答案A∵a0,b0,4ab+b-1=0,∴a=1-

∴a+b=b+14b-14≥2b

6.(2024陕西咸阳模拟,9)已知3a=5b=15,则下列选项错误的是()

A.a+b=2ab

B.ab1

C.log2a+log2b0

D.a

答案D由3a=5b=15,得a=log315,b=log

所以1a+1b=log153+log155=2,整理得a+b=2ab,故A正确;由上分析知a1,b0,则2=1a+1b≥21a·1b,得ab≥1,又a≠b,所以ab1,故B正确;因为log2a+log2b=log2(ab),ab1,所以log2

7.(2024广东模拟,10)已知正数a,b和实数t满足a2+tab+b2=1,若a+b存在最大值,则t的取值范围是()

A.(-∞,2]B.(-2,+∞)

C.(-2,2]D.[2,+∞)

答案Ca2+tab+b2=(a+b)2+(t-2)ab=1,a0,b0.

当t=2时,a+b=1;

当t2时,1=(a+b)2+(t-2)ab≤(a+b)2+(t-2)×a+b22,当且仅当a=b时取等号,所以t+2

当t2时,1=(a+b)2+(t-2)ab≥(a+b)2+(t-2)×a+b2

若t=-2,则a2-2ab+b2=(a-b)2=1,

所以|a-b|=1,不妨设ab,则a=b+1,此时a+b=2b+1没有最大值;

当-2t2时,t+20,t+24(a+b)2≤1,所以0a+b≤

当t-2时,a+b无最大值,不符合题意.

综上,-2t≤2.故选C.

二、填空题

8.(2024河南焦作模拟,15)已知a,b,c均为正数,则a+b+

答案2

解析a+b+cab+ac=a

9.(2024广东深圳二模,14)已知0x1,则1x+4

答案9

解析由0x1,得1-x0.1x+41-x=

10.(2024湖北八市联考,14)某校生物兴趣小组为开展课题研究,分得一块面积为32m2的矩形空地,并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示).要求试验区四周各空0.5m,各试验区之间也空0.5m,则每块试验区的面积的最大值为m2.?

答案6

解析设矩形空地的长为xm,则宽为32x

依题意可得,试验区的总面积S=(x-0.5×4)·32x-0.5×2=34-x-64