广东省华南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期综合测试（二）数学试题.docxVIP

2025届高三综合测试（二）

数学

满分：150分时间：120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，，，则（）

A． B． C． D．

2．设，向量，，则是的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（）

A． B．

C．或 D．或

4．函数的部分图象大致是（）

A． B．

C． D．

5．若是偶函数，则a的值为（）

A． B． C．0 D．1

6．已知某简谐振动的振动方程是，该方程的部分图象如图．经测量，振幅为．图中的最高点D与最低点E，F为等腰三角形的顶点，则振动的频率是（）

A． B． C． D．

7．已知直线与曲线相切，则的最大值为（）

A． B．2 C． D．5

8．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（）

A． B． C． D．

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．设，为复数，且，则下列结论正确的是（）

A． B．

C．若，则 D．

10．已知函数，则下列结论中正确的有（）

A．的最小正周期为

B．点是图象的一个对称中心

C．的值域为

D．不等式的解集为

11．已知函数，其中e是自然对数的底数，下列说法中正确的是（）

A．在上是增函数

B．的图象关于点中心对称

C．在上有两个极值点

D．若为的一个极小值点，且恒成立，则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．若集合，，，，则______．

13．如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高______m．

14．数学能为自然界的和谐、生命现象的和谐等找到最佳论证．在大自然中一些植物的叶子有着明确的数学方程式，如图①蔓叶中从一点出发散开的叶脉所形成的曲线，可近似为，该曲线即为蔓叶线，其图象如图②，若圆与该蔓叶线恰有两个交点，则______．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）已知向量，，设函数．

（1）当时，求函数的值域；

（2）已知在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且，求面积的最大值．

16．（15分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角．

（1）求证：；

（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．

17．（15分）设A，B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点P满足，记P的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程；

（2）已知点Q为曲线C的上顶点，点，分别为左、右焦点，过点Q的直线l交曲线C于另一点M，若，求l的方程．

18．（17分）已知函数，．

（1）当时，求在区间内极值点的个数；

（2）若恒成立，求a的值；

（3），，求证：．

19．（17分）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等。一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式（，，…，，，），k进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如．例如十进制数，所以25在三进制下可写为．

（1）设正整数m在三进制下的各位数字之和为

（i）将满足的数从小到大排成一列，直接写出该列数的前四个数；

（ii）在1至2025中任选一个正整数m，求为3的倍数的概率．

（2）已知正项数列的前n项和为，（，），且，记（其中表示不大于x的最大整数），求M的值．（用a表示）

2025届高三综合测试（二）数学参考答案

1．B2．A3．D4．A5．A6．B7．C8．C

7．【详解】设切点横坐标为，求导：得，

由题意可得，解得：，

所以，

所以时，的最大值为．故选：C

8．【详解】由，求导得，，

∴在单调递增，故．∵，

∴，迭代下去，可得．故B错误；

由，∴，故

迭代下去，可得，数列单调递减，故A错误；

∵，故C正确；

∵，故D错误．故选：C．

9．ABD【详解】设，（a，b，c，），

对于选项A，因为，

所以，

且，所以，故A正确；

对于选项B，因为，，，

则，，

所以，故B正确；

对于选项C，若，例如，，满足，

但，，即，故C错误；

对于选项D，因为，

所以，，

所以，故D正确．故选：ABD．

10．CD【详解】，作出的图象，如图，观察图象，

的最小正周期为，