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北京市东直门中学2024—2025学年度高一第一学期阶段考试
数学试卷
考试时间:120分钟总分150分
第一部分
一、选择题:(本题有12道小题,每小题4分,共48分)
1.已知集合,集合,那()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】由于,
所以.
故选:A
2.命题“,”的否定是()
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【解析】
【分析】由特称命题的否定:将存在变任意并否定原结论,即可写出否定形式.
【详解】特称命题的否定为全称命题,
∴“,”的否定是,.
故选:B.
3.已知全集,集合,,则()
A.或 B.或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合A的补集,再与集合求并集.
【详解】或,,
所以或?,
故选:A.
4.与为同一函数的是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】先判断两个函数的定义域是否是同一个集合,再判断两个函数的解析式是否可以化为一致.
【解答】由题意可知:的定义域为,
但定义域为,、的定义域均为,
故ACD错误;
定义域为,且,所以与是同一个函数,故B正确;
故选:B.
5.命题“”是命题“”的()条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充分必要 D.既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件判定方法,即可求解.
【详解】当时,,所以,
故命题“”是命题“”的充分条件,
反之,当时,或,
故故命题“”是命题“”的非必要条件,
所以命题“”是命题“”的充分不必要条件.
故选:A
6.不等式的解集为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将不等式移项通分得到,再转化为二次不等式即可得答案.
【详解】,即,解得:,
不等式的解集为,
故选:C.
7.设全集是实数集R,,,则阴影部分所表示的集合为()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由Venn图可知:阴影部分所表示的集合为,结合集合间的运算求解.
【详解】由Venn图可知:阴影部分所表示的集合为,
因为,,
则,所以.
故选:B.
8.已知,则的最小值为()
A.8 B.0 C.1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由基本不等式求得最小值.
【详解】因为,则,
当且仅当,即时,等号成立,
所以的最小值为.
故选:B
9.下列说法中,错误的是()
A.若,,则 B.若,则
C.若,,则 D.若,,则
【答案】A
【解析】
【分析】逐一检验,对A,取,判断可知;对B,,可知;对C,利用作差即可判断;对D根据不等式同向可加性可知结果.
【详解】对A,取,所以,故错误;
对B,由,,所以,故正确;
对C,,
由,,所以,所以,故正确;
对D,由,所以,又,所以
故选:A
10.若不等式对一切实数恒成立,则实数的取值范围是
A. B.
C.或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分母恒正可将不等式转化为对恒成立,结合二次函数图象可得,解不等式求得结果.
【详解】对恒成立
原不等式等价于对恒成立
即对恒成立
,解得:
的取值范围为
故选
【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解,关键是能够将根据二次函数图象得到判别式小于零.
11.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题:今有出钱五百七十六,买竹七十八,欲其大小率之,向各几何?其意是:今有人出钱576,买竹子78根,拟分大?小两种竹子为单位进行计算,每根大竹子比小竹子贵1钱,问买大?小竹子各多少根?每根竹子单价各是多少钱?则在这个问题中大竹子每根的单价可能为()
A.6钱 B.7钱 C.8钱 D.9钱
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意设买大竹子,每根单价为,可得,由,解不等式组即可求解.
【详解】依题意可设买大竹子,每根单价为,
购买小竹子,每根单价为,
所以,
即,即,
因为,
所以,
根据选项,,
所以买大竹子根,每根元.
故选:C
【点睛】本题考查了不等式,考查了数据处理能力以及分析能力,属于基础题.
12.对任何非空有限数集,我们定义其“绝对交错和”如下:设,,其中,则的“绝对交错和”为;当时,的“绝对交错和”为.若数集,则的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意列出所有非空子集,然后逐个求出“绝对交错和”并求和,即可得到答案.
【详解】
的所有非空子集有:、、、、
、、、、、、
、、、、
若则的“绝对交错和”为;若则的“绝对交错和”为;
若
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