重难点30 圆锥曲线中的存在性问题（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.pdf

重难点30圆锥曲线中的存在性问题【六大题型】

【新高考专用】

【题型1与向量有关的存在性问题】1

【题型2与斜率有关的存在性问题】8

【题型3与面积有关的存在性问题】13

【题型4存在定点满足某条件问题】19

【题型5存在常数满足某条件问题】24

【题型6存在点满足定值问题】30

1、圆锥曲线中的存在性问题

圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，圆锥曲线中的存在性问题考查频率变

高，此类问题一般分为探究条件、探究结论两种类型，主要在在解答题中考查，难度较高；复习时要加强

此类问题的训练，灵活求解.

【知识点1圆锥曲线中的存在性问题及其解题策略】

1．圆锥曲线中的存在性问题

此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，

成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及

对参数的讨论.

2．圆锥曲线中的存在性问题的求解策略：

(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行

观察、比较、分析，然后概括一般规律；

(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，

然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若在假设存在的前提下可以求出与已知、定理或公理相同的结

论，则说明假设成立；否则说明假设不成立.

【题型1与向量有关的存在性问题】

−2,02,0,

【例1】（2024·福建厦门·二模）已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为

3

，，且满足⋅=−.记的轨迹为曲线Γ.

1212

4

Γ

(1)求的轨迹方程；

⋅

(2)直线，分别交动直线=点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存

在，求出最大值；若不存在，说明理由.

【解题思路】（1）设点,(≠±2)，由题意列出等式，化简即可求得答案；

,

（2）分别设直线的方程，求出点的坐标，即可得出直线的方程，继而求出H点坐标，从而求

出⋅的表达式，结合二次函数知识，即可得结论，并求得最大值.

3

【解答过程】（1）由题意设点,(≠±2)，由于⋅=−，

12

4

3

故⋅=−，整理得+=1，

22443

22

Γ+=1,(≠±2)

即的轨迹方程为