重难点07 双变量问题（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.pdf

重难点07双变量问题【九大题型】

【新高考专用】

【题型1双变量单调性问题】2

【题型2双变量的最值（取值范围）问题】7

【题型3双变量问题转化为单变量问题】11

【题型4与极值点有关的双变量问题】16

【题型5与零点有关的双变量问题】21

【题型6双变量的恒成立问题】25

【题型7双变量的不等式证明问题】31

【题型8与切线有关的双变量问题】37

【题型9双变量的新定义问题】42

1、双变量问题

导数是高中数学的重要考查内容，是高考常考的热点内容，而导数中的双变量问题在高考中占有很重

要的地位，主要涉及双变量的恒成立问题、双参数不等式问题以及双变量的不等式证明等问题，一般作为

解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵活求解.

【知识点1导数中的双变量问题】

1．导数中的双变量问题

导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数

不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．

【知识点2导数中的双变量问题的解题策略】

1．转化为同源函数解决双变量问题

此类问题一般是给出含有x，x，f(x)，f(x)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式

1212

相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.

2．整体代换解决双变量问题

(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x，x的式子.

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(2)与极值点x，x有关的双变量问题：一般是根据x，x是方程f(x)0的两个根，确定x，x的关系,

121212

再通过消元转化为只含有x或x的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为x，x的齐次式，然后

1212

转化为关于的函数，把看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.

3．构造函数解决双变量问题的答题模板

第一步：分析题意，探究两变量的关系；

第二步：合二为一，变为单变量不等式；

第三步：构造函数；

第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题；

第五步：反思回顾解题过程，规范解题步骤.

【题型1双变量单调性问题】

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【例1】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数=n−，∈R．

2

e

(1)若=，求函数在区间1,上的最大值；

)−)

≠121

(2)若对于任意的，∈(0,+∞)，，都有