重难点31 阿基米德三角形（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.pdf

重难点31阿基米德三角形【六大题型】

【新高考专用】

【题型1弦长与弦所在方程问题】2

【题型2定点问题】5

【题型3切线垂直问题】11

【题型4切线交点及其轨迹问题】16

【题型5面积问题】22

【题型6最值问题】27

1、阿基米德三角形

阿基米德三角形是圆锥曲线的重要内容，圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来

看，阿基米德三角形的考查频率变高，在各类题型中都有可能考查，复习时要加强此类问题的训练，灵活

求解.

【知识点1阿基米德三角形】

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.

性质1阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴.

性质2若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线，该直线

与以C点为中点的弦平行.

性质3若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点(若直线l

方程为：ax+by+c0，则定点的坐标为.

性质4底边AB为a的阿基米德三角形的面积最大值为.

性质5若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小，

2

最小值为p.

【题型1弦长与弦所在方程问题】

【例1】（23-24高二下·河南开封·期末）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理

学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点

△△

处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：

2

△⊥⊥=16

（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线

2

焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程

为（）

A．+2−8=0B．−2+8=0

C．−4+16=0D．+4−16=0

【解题思路】根据“阿基米德三角形”的性质直接可得点的坐标，进而得解.

2

【解答过程】抛物线=16焦点坐标为0,4，准线方程为=−4，

△

由题意知，为“阿基米德三角形”，可得点必在抛物线的准线上，

所以点2,−4，直线的斜率为4−−4=−4，

0−2

1

又因为⊥，所以直线的斜率为，

4

1

所以直线的方程为=+4，即−4+16=0,

4

故选：C．

【变式1-1】（2024·陕西西安·二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希